Approssimazione Iterata Progressiva

This thesis is about the progressive iterative approximation method (PIA), which allows to approximate a given point set, taking it as its control point set and adjusting gradually the positions of its control points with iterative formula. This method generates a curve sequence with finer and finer precision and the limit of the sequence interpolates the data points. It is shown that as long as the given basis is totally positive, and its corresponding collocation matrix is nonsingular, the curve generated by the basis has the progressive iterative approximation property, that is the limit curve interpolates the given point set. The case of cubic B-spline is analyzed. The basis with the fastest convergence rate is found and the convergence rates of different bases are compared. It is possible to design a local progressive iterative approximation, adjusting only a subset of the control points at each iteration. In order to improve the convergence rate, it is possible to multiply all the adjusting vectors by a common weight, obtaining the weighted progressive iterative approximation (WPIA). By choosing an optimal value for the weight, the weighted progressive iterative approximation has a faster convergence rate than the usual progressive iterative approximation. When the number of data points is very large, it is possible to use the progressive iterative approximation for least square fitting (LSPIA), whose limit curve is the least square fitting result to the given data points. The LPSIA method is compared with geometric iterative fitting methods for generalized B-splines with changing core functions. The geometric iterative fitting methods have a set of different weights. Combining the advantages of generalized B-splines and the choice of different weights these methods can handle much more complicated practical problems. The theoretical part is presented with graphical representations of the curves. Furthermore, there is an appendix that contains the codes in the Matlab environment.

In questa tesi viene discusso il metodo dell’approssimazione iterata progressiva (PIA), che permette di approssimare un insieme assegnato di punti prendendolo come insieme dei punti di controllo e aggiustando gradualmente le posizioni di tali punti mediante formule iterative. Attraverso questo procedimento si genera una successione di curve che tendono alla curva che interpola i punti assegnati inizialmente. Si dimostra che se la base delle curve è totalmente positiva e la matrice di collocazione ad essa associata è non singolare, allora la curva generata dalla base gode della proprietà di approssimazione iterata progressiva, cioè la curva limite interpola i punti assegnati. Viene sviluppato ampiamente il caso delle B-spline cubiche. Si individua la base che garantisce l’ordine di convergenza maggiore e vengono fatti dei confronti fra diverse basi. Si dimostra che l’approssimazione iterata progressiva può essere applicata anche solo a livello locale, modificando a ogni iterazione solo una parte dei punti di controllo, e non tutti come nel caso globale. Per migliorare l’ordine di convergenza, è possibile inserire nelle formule iterative un peso, ottenendo l’approssimazione iterata progressiva pesata (WPIA). Scegliendo un valore ottimale per il peso, l’approssimazione iterata progressiva pesata ha ordine di convergenza maggiore del metodo di approssimazione iterata progressiva classico. Quando il numero dei punti assegnati è molto elevato si può usare l’approssimazione iterata progressiva ai minimi quadrati (LSPIA), che come curva limite ha la curva ai minimi quadrati che interpola i punti dati. Il metodo LSPIA viene anche confrontato con metodi geometrici iterativi applicati alle B-spline generalizzate con funzioni di base variabile, in cui si considerano pesi diversi. Combinando l’uso delle B-spline generalizzate e la scelta dei pesi diversi, questi metodi permettono di risolvere problemi applicativi più complicati. La trattazione teorica è accompagnata da rappresentazioni grafiche delle curve ottenute. Inoltre, a complemento della tesi, viene presentata un'appendice in cui è riportata una descrizione dettagliata delle procedure computazionali implementate mediante il software Matlab.