Un'introduzione al Problema degli n Corpi

This thesis consists of an introduction to the gravitational n-body problem (GNBP) in a newtonian framework. In the first chapter we define regorously the Problem as an initial conditions autonomous Cauchy problem and we define a solution of the GNBP. In the second chapter we present some of the most important results regarding the ODE theory in order to prove that the GNBP admits bounded or unbounded global solutions. In the third chapter we study the properties of GNBP's first integrals. In the fourth chapter other GNBP's important properties are introduced, such as the absence of equilibrium points, and we derive the Lagrange-Jacobi relation. In the fifth chapter we introduce the concept of singularity of the GNBP, singularities are classified and we present the most elemetary theorems regarding singularities and the historical development of the research in the field of non collisional singularity. In the sixth chapter we present notable esamples of GNBPs, such as total collisions, circular solutions and the restricted three-body problem. In the seventh and last chapter excercises regarding previous chapters' topics and their solutions can be found.

In questa trattazione introduciamo il Problema degli n Corpi Gravitazionale (per brevità PNCG) in un regime newtoniano, dunque non relativistico. Nel primo capitolo vengono fornite una definizione rigorosa del Problema come problema di Cauchy ai valori iniziali e una di soluzione del PNCG. Nel secondo capitolo vengono presentati alcuni dei risultati elementari più importanti della teoria delle equazioni differenziali ordinarie, al fine di dimostrare che il PNCG ammette soluzioni globali, limitate o illimitate. Nel terzo capitolo vengono studiate le proprietà degli integrali primi del PNCG. Nel quarto capitolo vengono introdotte altre proprietà importanti del Problema, quale l'assenza di punti di equilibrio, e viene ricavata la formula di Lagrange-Jacobi. Nel quinto capitolo viene introdotto il concetto di singolarità del PNCG, vengono classificate le singolarità e presentati alcuni teoremi elementari riguardanti le stesse, con un breve excursus sullo sviluppo storico della ricerca nel campo delle singolarità non collisionali. Nel sesto capitolo sono presenti degli esempi notevoli di PNCG, in particolare collisioni totali, soluzioni circolari e problema ristretto dei tre corpi. Nel settimo e ultimo capitolo vengono risolti alcuni esercizi riguardanti gli argomenti dei capitoli precedenti.