Misure di Hausdorff e la formula dell'area

The argument developed in the thesis is the Hausdorff measure defined as an extension of the Lebsegue measure for subsets of Rn. The first chapter analyzed the technical tools and introductory results such as external measurements and Carathéodory's criteria, measurement under Hölderian functions and Vitali's overlay lemma. The isodiametric inequality has been proved by means of Steiner symmetry. In the second chapter, the result of equality between the Hausdorff measure and the Lebesgue measure in a particular case was proved. A new dimension concept based on the Hausdorff measure was introduced and finally the area formula was demonstrated.

L’argomento sviluppato nella tesi è la misura di Hausdorff definita come estensione della misura di Lebsegue per sottinsiemi di R^n. Nel primo capitolo si sono analizzati gli strumenti tecnici e i risultati introduttivi come le misure esterne e i criteri di Carathéodory, la misura sotto funzioni hölderiane e il lemma di ricoprimento di Vitali. Mediante la simmetrizzazione di Steiner si è dimostrata la disuguaglianza isodiametrica. Nel secondo capitolo, si sono dimostrati il risultato di uguaglianza tra la misura di Hausdorff e quella di Lebesgue in un caso particolare. Si è introdotto un nuovo concetto di dimensione basato sulla misura di Hausdorff e infine si è dimostrata la formula dell’area.