Curve e superfici di Bézier generalizzate con applicazioni alla modellazione di oggetti

Free-form curves and surfaces are not only an important research area in CAD/CAM, but also a forceful tool in design and geometric representation of various products. The classical Bézier curves and surfaces are constructed by using Bernstein basis functions, which have simple definition and good properties, introduced in the first chapter. However the shapes of Bézier curves and surfaces are only defined by their control points, and Bèzier method cannot represent conic curves and surfaces accurately. In order to overcome the limitations above, shape adjustable generalized Bézier curves and surfaces are presented in the second and in the last chapter, respectively. Their most significative advantages are: (1) they inherit the good properties of the traditional Bézier curves and surfaces; (2) they contain multiple local and global shape parameters, which can make the local and global shapes of the curves and surfaces be modified conveniently without altering the control points. Furthermore the C¹ and C² continuity conditions of the new curves and surfaces are explored. In the third chapter six different types of engeneering surfaces are constructed using the NURBS curves. Even if the shape of rational surfaces can be modified by altering the weight factors, when their control points remain the same, the introduction of rational fractions will result in many defects such as complex calculations, cumbersome integrals and repetitive differentiation. In the last chapter the same surfaces (including general cylinders, bilinear surfaces, ruled surfaces, swung surfaces, swept surfaces and rotation surfaces) are constructed using shape-adjustable generalized Bézier curves. Some examples have been shown to clarify the fact that the proposed methods of using shape-adjustable generalized Bézier curves and surfaces is effective in geometric modeling.

Curve e superfici con forma modificabile in base alle esigenze rappresentano non solo un'importante area di ricerca in CAD/CAM, ma anche uno strumento potente e prezioso per il disegnatore, per la modellazione geometrica di vari oggetti. Le curve e superfici di Bézier classiche sono costruite a partire dai polinomi di Bernstein, che hanno una definizione semplice e utili proprietà, introdotte nel primo capitolo. Tuttavia la forma delle curve e delle superfici di Bézier classiche è determinata dai soli punti di controllo, ed, in secondo luogo, esse non costituiscono una rappresentazione esatta per le coniche. Per riuscire a superare le suddette limitazioni, sono state presentate curve e superfici di Bézier generalizzate, rispettivamente nei capitoli secondo e quarto. I loro più significativi vantaggi sono i seguenti:(1) ereditano le buone proprietà delle curve e superfici di Bézier classiche; (2) contengono più parametri di forma globale e locali, che permettono di poterne far variare la forma, in base alle necessità, senza che ne siano alterati i punti di controllo. Inoltre sono state esaminate le condizioni di regolarità C¹ e C² per il raccordo di questo tipo di curve e superfici. Nel terzo capitolo, sono stati introdotti sei diversi tipi di superfici, usando le curve NURBS. Anche se il vantaggio delle superfici razionali è, sicuramente, presente, dal momento che si può modificare la forma delle superfici, cambiando i valori dei pesi, tuttavia, l’introduzione di fattori razionali porta a difficoltà di calcolo, derivazioni ripetute e integrali ingombranti da risolvere. Nell’ultimo capitolo, le superfici (in particolare superfici cilindriche, bilineari, rigate, SWUNG, SWEPT e di rotazione) sono costruite attraverso le curve di Bézier generalizzate. Sono, infine, mostrati alcuni esempi di costruzione e utilizzo di curve e superfici di Bézier generalizzate, con lo scopo di chiarire quanto possono essere efficaci nella modellazione grafica.