ALGEBRE TENSORIALI, ESTERNE E DETERMINANTI

In this thesis, we present another way the notion of determinant of a matrix through the exterior algebra, which is defined for modules over a commutative unitary ring R. To get the definition of exterior R-algebra, relies on the tensor product and the exterior power of a module, that we recall for sake of completeness. After we define the concept of an exterior algebra and show its existence and uniqueness, we define the determinant of a matrix as te determinant of the endomorphism that maps the standard basis of R^n to the columns of the given matrix, Of course, we show that the definition of the determinant of a matrix by the exterior algebra is equivalent to the known definition. Further on, we prove in terms of the exterior algebras several known properties of determinants. At the end, we show Laplace expansion of detA by the i-th row (or column) of A.

In questa tesi affrontiamo il concetto di determinante della matrice attraverso la nozione di algebra esterna, che viene definita per moduli su un anello unitario commutativo R. La definizione di R-algebra esterna si basa sul prodotto tensoriale e sulla potenza esterna di un modulo, che richiamiamo per completezza. Dopo aver definito il concetto di algebra esterna e mostrato la sua esistenza e unicità, definiamo il determinante di una matrice come il determinante dell'endomorfismo che mappa la base standard di R^n alle colonne della matrice data. Naturalmente, mostriamo che la definizione del determinante di matrice mediante l'algebra esterna è equivalente alla definizione nota. Inoltre, dimostriamo in termini di algebre esterne diverse proprietà note dei determinanti. Per ultimo si mostra lo sviluppo di Laplace di detA rispetto all'i-esima riga (o colonna) di A.