Integrabilità in meccanica classica

Nel primo capitolo si introduce il formalismo simplettico nella descrizione di sistemi hamiltoniani. In particolare si studia l'equivalenza fra trasformazioni canoniche e invarianza della forma simplettica nello spazio delle fasi. In seguito si riportano i concetti di sistema integrabile per quadrature e secondo Liouville; quest'ultima condizione consiste nella presenza di n quantità conservate nel tempo, indipendenti e in involuzione fra loro. Infine viene enunciato il teorema di Liouville che lega le due definizioni di sistema integrabile, discutendone la dimostrazione. Nella seconda parte si introducono le variabili azione-angolo per sistemi integrabili secondo Liouville. Dapprima si enuncia il teorema di Arnold, riguardante le proprietà topologiche dello spazio delle fasi su cui avviene il moto di un sistema di questo tipo. Quindi si cerca una trasformazione canonica che rifletta questa struttura geometrica. Si giunge alla costruzione delle variabili azione-angolo, dove le azioni sono integrali primi del moto e gli angoli sono le coordinate periodiche canonicamente coniugate ad esse. Con questa parametrizzazione si possono risolvere agevolmente le equazioni di Hamilton. In conclusione si applica questa teoria ad un sistema di n oscillatori armonici disaccoppiati e al problema dei due corpi con potenziale centrale. Nella terza sezione si studia la teoria delle coppie di Lax per la risoluzione di sistemi hamiltoniani. Vengono definite le coppie di Lax di matrici (L, M) e la relativa equazione che ne stabilisce l'evoluzione temporale. Un sistema fisico è descritto da queste matrici se l'equazione di Lax riproduce quelle di Hamilton; in alcuni casi questa descrizione ne semplifica la soluzione. Si ricavano le principali caratteristiche di una coppia di Lax: in particolare gli autovalori di L sono costanti nel tempo, perciò si può riassumere l'evoluzione temporale con una trasformazione di similitudine. Dopodiché si riporta un esempio in cui viene risolto l'oscillatore armonico tramite questo metodo, inoltre si individuano L e M per un sistema descritto dalle variabili azione-angolo. In conclusione viene trattata la condizione per cui gli autovalori sono in involuzione, dimostrando come questa sia equivalente ad una certa relazione algebrica, che coinvolge la matrice r. Nell'ultimo capitolo si studia la catena di Toda aperta con n gradi di libertà, la quale rappresenta un esempio in cui l'interazione avviene solo fra corpi immediatamente vicini. Questo sistema si presta molto per essere analizzato con la teoria delle coppie di Lax. Una volta individuate le matrici L ed M, ne vengono studiate le proprietà spettrali, dimostrando come gli autovalori costituiscano un insieme di n integrali primi del moto, indipendenti e in involuzione fra loro, da cui deriva che la catena di Toda aperta è integrabile secondo Liouville e quindi per quadrature. Infine si osserva che L è una matrice di Jacobi e ciò implica che l'evoluzione temporale possa essere risolta studiando quella dei suoi autovettori. In particolare si è scelto di usare il metodo sviluppato nel teorema di Moser, riportando il calcolo esplicito nel caso n=2. In ultimo si descrive il sistema della catena di Toda chiusa senza riportarne la soluzione, ma accennando alla teoria che ne è coinvolta, cioè quella della curva spettrale.