Decomposizione a valori singolari (SVD) e applicazione nell'analisi dei fattori nel mercato azionario

Questo lavoro di tesi si pone l’obiettivo di descrivere e analizzare la decomposizione a valori singolari (SVD, Singular Value Decomposition), ovvero una particolare fattorizzazione che mira ad approssimare una matrice di dati rettangolare come prodotto di due matrici ortogonali e una matrice diagonale contenente i valori singolari. Oggi la decomposizione a valori singolari si è diffusa in molte branche della scienza, in particolare psicologia e sociologia, scienza del clima e dell’atmosfera e astronomia. Inoltre è estremamente utile nel machine learning e in statistica sia descrittiva che predittiva. La SVD ha note applicazioni nel campo dell'analisi delle componenti principali (PCA, Principal Component Analysis) e può essere applicato nell'analisi multivariata per ottenere un'impronta ridotta dei diagrammi di dati con poche variabili. Nell’elaborato, dopo aver dato un enunciato del teorema e una sua dimostrazione, sono state sfruttate queste sue applicazioni per discutere una sua particolare applicazione in campo finanziario. In particolare è stato analizzato il modello multifattoriale per i rendimenti in un portafoglio di titoli e viene illustrato l’uso della SVD per estrarre i fattori di mercato. I suoi vantaggi, in termini di gestione di grandi set di dati sfruttando l’analisi delle componenti principali, permettono di riuscire a costruire un portafoglio che imiti i rendimenti di mercato.