I codici MDS

This thesis is about MDS codes. It tries to answer the following question: given an integer K and a finite field F=GF(q), which is the maximum length of a linear code MDS with a dimension k on F? This is still an open issue so a discussion is proposed taking into account only some values of k. In the work there are two chapters: a first one on linear codes and MDS codes and a second one that answers to the initial question. In the first chapter various definitions of code, linear code and MDS code are proposed, with the description of some properties that show some important aspects of these sets, as the relation between informations places and dimensions of a linear code MDS defined on a finite field F=GF(q). In the second chapter there is the statement and the demonstration of the fundamental properties, necessary to demonstrate the assumptions about the possible maximum length of a linear code MDS with a dimension k on a finite field F=GF(q). There is also the introduction of GRS codes that are necessary for their peculiarities, which permit to demonstrate the "MDS conjecture" for some values of k.

Nella Tesi vengono trattati i codici MDS; in particolare si cerca di rispondere alla seguente domanda: dato un intero k e un campo finito F=GF(q) qual’è la lunghezza massima di un codice lineare MDS di dimensione k su F ? Dal momento che questo è ancora un problema aperto viene proposta una trattazione solo per alcuni valori di k. L’elaborato si suddivide in due capitoli: uno introduttivo sui codici lineari e i codici MDS ed un secondo dove si risponde alla domanda posta all’inizio. Nel primo capitolo vengono proposte le definizioni di codice, codice lineare e codice MDS, oltre che alcune proprietà per mettere in luce alcuni aspetti base di questi insiemi, come la relazione tra posti di informazione e dimensione di un codice lineare MDS definito su un campo finito F=GF(q). Nel secondo capitolo, invece, vengono enunciate e dimostrate le proprietà fondamentali per riuscire a dimostrare affermazioni sulla lunghezza massima che può avere un codice lineare MDS di dimensione k su un campo finito F=GF(q); vengono presentati anche i codici GRS, necessari perché posseggono peculiarità che permettono di dimostrare la ”congettura MDS” per alcuni valori di k.