Il teorema di Poincaré-Hopf

In questo elaborato verrà affrontato un risultato di geometria e, in particolare, di topologia differenziale. Si tratta, come si evince dal titolo, del teorema di Poincaré-Hopf, anche detto formula dell'indice di Poincaré-Hopf. Questo prende il suo nome da Henri Poincaré (Nancy, 29 aprile 1854 – Parigi, 17 luglio 1912), matematico e fisico teorico francese che ne diede una dimostrazione in due dimensioni nel 1885, e da Heinz Hopf (Gräbschen, 19 novembre 1894 – Zollikon, 3 giugno 1971), matematico svizzero di origini tedesche e pioniere della topologia algebrica che lo dimostrò nella sua versione più generale nel 1926, in seguito a precedenti risultati di Brouwer e Hadamard. Il teorema, come si vedrà, mostra il connubio tra due aree della matematica apparentemente scollegate: da una parte si ha infatti la caratteristica di Eulero, concetto puramente topologico, mentre dall'altra si ha l'indice di un campo vettoriale, concetto puramente analitico. Un caso particolare della formula è il noto teorema della palla pelosa o di impettinabilità della sfera, secondo cui non esiste un campo vettoriale continuo e privo di zeri tangente a una sfera. Questo risultato può essere generalizzato a ogni ipersfera di dimensione pari.