Mercati Arbitrage Free e Martingale

La tesi elabora il concetto di assenza di arbitraggio con l'utilizzo del processo di martingala al fine di arrivare a enunciare e dimostrare i due principali teoremi: il primo teorema fondamentale dell'asset pricing e il secondo teorema fondamentale dell'asset pricing. Si danno le definizioni generali di mercato finanziario, portafoglio e opzione, cioè un derivato finanziario che dà all'acquirente o al venditore il diritto, ma non l'obbligo, di acquistare o vendere (rispettivamente) ad un certo prezzo di esercizio ad una certa data futura o entro una certa data futura il bene sottostante sotto pagamento di un premio. Vengono esposte poi le definizioni di arbitraggio, cioè in breve un'operazione che sfrutta le differenze di prezzo da un mercato ad un altro per ottenere profitto e di strategia. Quindi si dà la definizione di mercato in assenza di arbitraggio e di processo di martingala. Infine questi oggetti vengono utilizzati per i due teoremi fondamentali. Il primo teorema fondamentale dell'asset pricing afferma che un mercato è privo di arbitraggio se e solo se esiste una misura di probabilità Q equivalente a P tale che il vettore dei prezzi scontati dei titoli rischiosi sia una martingala. Il teorema dimostra quindi che una misura di probabilità Q garantisce l'assenza di arbitraggio e viceversa. Per la dimostrazione, oltre al processo di martingala, si utilizzano concetti come strategia ammissibile e processo predicibile. Si dà poi la relazione tra prezzo dell'opzione call e put in un mercato privo di arbitraggio. Successivamente si introducono i mercati finanziari completi, poiché il secondo teorema fondamentale dell'asset pricing afferma che un mercato privo di arbitraggio è completo se e solo se esiste un'unica misura di martingala equivalente a Q, cioè un'unica misura di probabilità Q equivalente a P e tale che i prezzi scontati dei titoli rischiosi siano Q-martingale.