La curva duale

In this thesis we give the definitions of (complex) affine and projective (plane, algebraic) curve, square-free polynomial with complex coefficients, degree of a curve, smooth point of a curve, singular point of a curve, smooth curve, order of a nonzero polynomial with complex coefficients in two variables, order of a nonzero polynomial with complex coefficients in two variables at a point, order of an affine curve at a point, order of a projective curve at a point, intersection multiplicity of a projective curve and a projective line at a point, tangent line to a projective curve at a point, tangent line to a projective curve and dual curve of a projective curve. Then we prove that, for a smooth projective conic C, the dual curve of C is again a smooth projective conic and its dual curve is equal to C. Next we prove that the dual curve of a projective curve that contains no projective lines is a projective curve. Lastly, we state two lemmas and the biduality theorem: if C is a projective curve that contains no projective lines, then the dual curve of the dual curve of C is equal to C.

In questa tesi diamo le definizioni di curva (algebrica, piana) affine e proiettiva (complessa), polinomio a coefficienti complessi ridotto, grado di una curva, punto liscio di una curva, punto singolare di una curva, curva liscia, ordine di un polinomio a coefficienti complessi in due variabili non nullo, ordine di un polinomio a coefficienti complessi in due variabili non nullo in un punto, ordine di una curva affine in un punto, ordine di una curva proiettiva in un punto, molteplicità di intersezione di una curva proiettiva e una retta proiettiva in un punto, retta tangente ad una curva proiettiva in un punto, retta tangente ad una curva proiettiva e curva duale di una curva proiettiva. Quindi dimostriamo che, per una conica proiettiva liscia C, la curva duale di C è ancora una conica proiettiva liscia e la sua curva duale è uguale a C. Poi dimostriamo che la curva duale di una curva proiettiva che non contiene rette proiettive è una curva proiettiva. Infine, enunciamo due lemmi e il teorema di bidualità: se C è una curva proiettiva che non contiene rette proiettive, allora la curva duale della curva duale di C è uguale a C.