Teoria dei Rivestimenti

Questa tesi si propone l'obbiettivo di analizzare la teoria dei rivestimenti. Partendo dalla definizione fondamentale e passando attraverso lo studio dell'azione di gruppi su rivestimenti, si vedranno le proprietà principali con le implicazioni di maggior rilievo. Nel corso della trattazione saranno riportati numerosi esempi, utili per una maggior comprensione dei risultati. L'ambizione di questo lavoro consiste nel delineare la teoria dei Rivestimenti, superando la natura di puro strumento di lavoro degli stessi a favore di una trattazione dedicata. La definizione di rivestimento, insieme alle proprietà dirette, costituisce il punto di partenza della trattazione, che si estende all'analisi del caso in cui lo spazio totale ammetta l'azione continua di un gruppo G, cioè il caso in cui lo spazio totale sia un G-Spazio. In particolare si evidenzia come taluni rivestimenti emergano naturalmente da G-Spazi la cui azione sia anche propriamente discontinua; nello specifico ci si riferisce al caso in cui sotto opportune ipotesi, la mappa quoziente canonica sia un rivestimento. Inoltre si dettaglieranno alcune specificità nel caso in cui lo spazio totale sia anche di Haussdorf (o T 2 ). Lo studio delle proprietà di base dei rivestimenti permetterà di derivare concetti fondamentali, quali il sollevamento di funzioni, cammini e omotopie. In particolare ci si soffermerà sui principali teoremi come il teorema di esistenza e unicità del sollevamento di cammini ed il teorema di Monodromia. Inoltre l'analisi dei morfismi di rivestimenti permetterà di introdurre le classi di coniugio, che consentono di giungere ad una caratterizzazione dei rivestimenti, oltre ai legami tra rivestimenti e gruppi fondamentali. Infine, si introduce un'oggetto di notevole importanza in topologia: il rivestimento universale. Di particolare interesse risulta la dimostrazione del teorema di Esistenza del Rivestimento Universale; in essa infatti confluiscono i concetti fondamentali della Teoria dei Rivestimenti.