Teoria della derivazione dell'Integrale di Lebesgue ​

In questa tesi verranno esposti in modo chiaro e semplificato i concetti chiave della Teoria della derivazione dell'integrale di Lebesgue, principalmente rispetto a funzioni sulla retta. A tal scopo è necessario fornire alcune nozioni introduttive: sia X un insieme e M una σ-algebra definita su X; consideriamo lo spazio misurabile (X, M). Sia µ la misura di Lebesgue definita su X e definiamo (X,M,µ) spazio di misura, che indicheremo d'ora in poi per semplicità con X. Per qualunque funzione f sommabile definita sullo spazio di misura X sopra introdotto e per qualunque sottoinsieme misurabile A di X, l'integrale su A con funzione integranda f(x) (in dµ) esiste e viene chiamato Integrale di Lebesgue. Se fissiamo f l'integrale rappresenta allora una funzione che ha come dominio la σ-algebra M. In particolare, considerando X ⊂ R, se A è un sottoinsieme chiuso di X, ad esempio [a, b], allora l'integrale indefinito è una funzione che dipende solo dagli estremi dell'intervallo A. Mantenendo inoltre costante uno dei due estremi, a in questo caso, e scrivendo dµ come dt, l'integrale con estremi di integrazione a e x di f(x) (in dt) risulta una funzione dipendente dalla sola variabile x. Per studiare questo tipo di integrale e le sue proprietà ci ricondurremo all'analisi di alcune particolari classi di funzioni sulla retta, come la classe delle funzioni monotone. Le principali questioni che verranno affrontate nel corso della tesi sono due: • data f funzione continua su [a, b], l'uguaglianza tra la derivata rispetto ad x dell'integrale di f(t) (in dt) con estremi di integrazione a e x e la funzione f(x) è vera per funzioni sommabili secondo Lebesgue? • data F funzione su [a, b] con derivata continua, qual è la (più ampia) classe di funzioni per cui la seconda uguaglianza fondamentale tra la differenza F(x) − F(a) e l'integrale della derivata di F(x) con estremi di integrazione a e x è valida? Verranno inoltre introdotte e analizzate le classi delle funzioni a variazione limitata e delle funzioni assolutamente continue e il loro legame rispettivamente con il primo e il secondo dei due interrogativi appena esposti. Nell'ultimo capitolo si cercherà infine di fornire alcune nozioni teoriche di base indispensabili per l'estensione della teoria della derivazione per funzioni sulla retta a funzioni definite su spazi arbitrari. La tesi si concluderà poi con l'enunciato del Teorema di Radon-Nikodim.