Problema di Primo Passaggio per un Processo di Poisson

Questa tesi si basa sullo studio del problema di primo passaggio nel caso particolare di un processo di Poisson. L'obiettivo finale sarà quello di riuscire a calcolare l'esatta distribuzione dei tempi di primo passaggio nei tre possibili casi, ovvero con barriera costante, decrescente e crescente. Questo problema risulta avere una grande importanza nella matematica applicata. Si possono trovare infatti modelli basati su un processo di Poisson che attraversa una determinata barriera in svariati ambiti come ad esempio in campo finanziario o per studi di biologia. Inoltre i metodi studiati in questa tesi possono risultare un buon punto di partenza per lo studio dei tempi di primo passaggio di processi più generali, quali i processi di nascita e morte. Nel capitolo 1 si introducono i concetti fondamentali su cui si basa il resto della trattazione, come la definizione di processo markoviano e processo di Poisson. Lo studio dei tempi di passaggio avviene invece nel secondo capitolo, il quale è diviso in tre sezioni, una per ogni possibile tipo di barriera. Inoltre la trattazione matematica viene affiancata a vari grafici realizzati mediante il software R. I risultati presenti in questa tesi non sono originali ma si è dedicato un ampio sforzo a completare, in modo rigoroso, le dimostrazioni presenti nel testo di Zacks in cui i risultati vengono discussi con solo rapidi accenni alle prove.