sottovarietà isoparametriche

A hypersurface immersed in Euclidean space, the sphere or hyperbolic space is called isoparametric if it has constant principal curvatures. This thesis is about the origin of this kind of hypersurfaces going through the original papers on the subject. The results will be presented both using the original notation and approach, and with a modern point of view, showing how they ?fit into the present research setting. The most signi?cant contribution to the topic of isoparametric hypersurfaces was given by the work of the french mathematician Cartan to whom the central part of the thesis is devoted. In a series of papers published between 1938 and 1939 he presented some fundamental results and made the whole theory much richer. First of all, he proved that, in a space with constant curvature C, the original conditions on the constancy of differential parameter are equivalent to ask that the the level hypersurfaces have constant principal curvatures. Then he proved an identity nowadays called Cartan's fundamental formula. Cartan produced examples of isoparametric hypersurfaces with four principal curvatures of multiplicity one in S^5 and four principal curvatures of multiplicity two in S^9, but he did not give a complete classi?cation of isoparametric hypersurfaces with four principal curvatures. Indeed the problem of classifying isoparametric hypersurfaces is still open and an active research field. After the analysis of Cartan's papers using his original approach (Chapter 7), in the thesis is presented the modern point of view (Chapter 8) and the modern developments of Cartan's contributions and ideas.

Una sottovarietà immersa in uo spazio euclideom la sfera, o lo spazio iperbolico è chiamata isoparametrica se ha le curvature principali costanti. Questa tesi riguarda l'origine di questo tipo di ipersuperfici attraverso la lettura di articoli originali in merito. I risultati sono presentati sia con la notazione originale sia da un punto di vista moderno, mostrando come si inseriscono nei filoni di ricerca moderni. Il maggior contributo all'argomento fu dato dal matematico francese Cartan al cui lavoro è dedicata la parte centrale della tesi. Egli scrisse tra il 1937 e il 1938 una serie di articoli dove presentò i risultati fondamentali e arricchì la teoria. Egli provò che in uno spazio con curvatura costante C, la richiesta della costanza dei due parametri fondamentali è equivalente a richidere che le ipersuperfici di livello abbiano curvature principali costanti. Poi provò la validità di una identità chiamata "formula fondamentale di Cartan". Egli produsse esempi di sottovarietà isoparametriche con quattro curvature principali di molteplicità 1 in S^5 e quattro curvature principali di molteplicità 2 in S^9, ma non diede una classificazione completa delle ipersuperfici isoparametriche. Il problema della classificazione è ancora aperto e la ricerca nel campo è attiva. Dopo l'analisi dei paper di Cartan utilizzando il suo approccio originale (cap. 7), è presentato il punto di vista moderno (cap. 8) e gli sviluppi moderni delle idee e dei contributi di Cartan.