Un approcio alla quantizzazione di una classe di sistemi Hamiltoniani classici

In this thesis we present at first the variable separation of the Schroedinger equation in order to get commuting operators through the Laplace-Beltrami quantization theory; afterwards we introduce the important concept of "quantum correction", which is needed whenever one has to add a (common or not) scalar term to the Laplacian in order to get commutation between the operator associated with the classical natural Hamiltonian and the ones with its classical first integrals. Moreover, we show an extension procedure which let us build a (n + 1)-dimensional Hamiltonian from a n-dimensional specific one and provides the construction of an additional polynomial in the momenta first integral for the extended system. This method is related with the superintegrable situations and it is useful in order to search commuting operators through the LB quantization: as a last argument, we give an explicit example starting from the two-dimensional Tremblay-Turbiner-Winternitz model, finding a general formula for a simultaneous quantum correction associated to any of its n-dimensional extended systems.

In questa tesi presentiamo anzitutto la separazione di variabili per l'equazione di Schroeodinger in modo tale da poter individuare operatori commutanti attraverso la teoria della quantizzazione di Laplace-Beltrami; dopodiché introduciamo il concetto importante di "correzione quantistica", che è necessaria ogni volta in cui si deve aggiungere un termine scalare al Laplaciano per poter ottenere la commutazione tra l'operatore associato alla Hamiltoniana naturale classica e quelli associati ai suoi integrali primi. Mostriamo inoltre una procedura di estensione che permette di generare una Hamiltoniana (n+1)-dimensionale a partire da una specifica n-dimensionale e fornisce la costruzione di un integrale primo addizionale, polinomiale nei momenti, per il sistema esteso. Il metodo è legato alle situazioni di superintegrabilità ed è utile per cercare operatori commutanti tramite la quantizzazione di LB: come ultimo argomento diamo un esempio esplicito di ciò partendo dal modello bidimensionale di Tremblay-Turbiner-Winternitz, trovando una formula generica per la correzione quantistica simultanea da associare ad una sua qualsiasi estensione n-dimensionale.