Sistemi di tipo Dirac periodici: teoria spettrale e biforcazione globale

This thesis deals as its foremost argument with the study of the global bifurcation for a class of Dirac-type differential equations. The treatment we undertake begins with a discussion of the principal properties of the linear Sturm-Liouville problems on both bounded and unbounded domain, of the Hill's equation and of some results about the spectrum of particular integrable perturbations of the Hill's equation. We shall continue with an analogous treatment for linear Dirac-type systems, obtaining some results on the equation with periodic coefficients as well. We will proceed with the exposition of the global bifurcation problem for nonlinear elliptic equations of arbitrary dimension, that is partial differential equations of the form $-\sum_{\alpha,\beta=1}^N a_{\alpha\beta}(x,u(x),\nabla u(x))\partial_\alpha\partial_\beta u(x)+b(x,u(x),\nabla u(x),\lambda)=0$. Following the presentation of the methodology by which we shall obtain the results,which is the use of a particular topological invariant for Fredholm maps of index zero, we will see how suitable conditions imposed on the coefficients of the elliptic equation will lead to the satisfaction of the hypotheses of a global bifurcation Theorem for Fredholm maps of index zero. The imposed conditions deal mainly with the continuity and the asymptotic periodicity of the coefficients. The last chapter is devoted to the presentation of the theory leading to a global bifurcation result for $1$-dimensional Dirac-type equations of the form $-a(x,u(x))\frac{d}{dx}u(x)+b(x,u(x),\lambda)=0$. Via the aid of results which are analogous to those obtained for the elliptic equations we will find that, under suitable conditions for the coefficients, for this class of differential equations as well there is a global bifurcation. The results obtained in this last chapter are nevertheless weaker, for they can only be applied to the ordinary differential equation.

La presente tesi ha come argomento primario lo studio della biforcazione globale per una classe di equazioni differenziali di tipo Dirac. La trattazione che intraprenderemo inizierà con la discussione delle principali proprietà dei problemi di Sturm-Liouville lineari su di un intervallo limitato e su di un intervallo non limitato, dell'equazione di Hill e di alcuni risultati riguardanti lo spettro di particolari perturbazioni integrabili dell'equazione di Hill. Proseguiremo con una discussione analoga per i problemi di tipo Dirac lineari, arrivando anche in questo frangente a ottenere risultati per l'equazione con coefficienti periodici. Continueremo con l'esposizione del problema della biforcazione globale per equazioni ellittiche non-lineari in dimensione arbitraria, ovvero equazioni differenziali alle derivate parziali della forma $-\sum_{\alpha,\beta=1}^N a_{\alpha\beta}(x,u(x),\nabla u(x))\partial_\alpha\partial_\beta u(x)+b(x,u(x),\nabla u(x),\lambda)=0$. A seguito della presentazione della metodologia tramite cui otterremo i risultati, ovvero l'uso di un particolare invariante topologico per mappe di Fredholm di indice zero, vedremo come opportune condizioni imposte sui coefficienti dell'equazione ellittica conducano al soddisfacimento delle ipotesi di un Teorema di biforcazione globale per mappe di Fredholm di indice zero. Le condizioni imposte riguardano principalmente la continuità e l'asintotica periodicità di tali coefficienti. L'ultimo capitolo del presente lavoro è dedicato alla presentazione della teoria che conduce a un analogo risultato di biforcazione globale per equazioni di tipo Dirac in dimensione $1$ della forma $-a(x,u(x))\frac{d}{dx}u(x)+b(x,u(x),\lambda)=0$. Tramite l'ausilio di risultati analoghi a quelli ottenuti per le equazioni ellittiche avremo che, sotto opportune condizioni sui coefficienti, anche tale classe di equazioni differenziali è soggetta a una biforcazione globale. I risultati ottenuti in questo ultimo capitolo sono tuttavia più deboli, potendosi applicare al solo caso dell'equazione ordinaria.