Alcuni Teoremi di Finitezza su Curve Ellittiche

La tesi verte su alcuni aspetti della geometria aritmetica, disciplina con forti legami sia con la teoria dei numeri, sia con la geometria algebrica , che, in particolare, studia le soluzioni intere o razionali di equazioni polinomiali. In questa tesi si approfondisce lo studio di equazioni corrispondenti a particolari curve algebriche non singolari, quelle di genere 1 (curve ellittiche), con particolare attenzione alla struttura e a eventuali caratteri di finitezza dei loro punti razionali e interi. In particolare è condotta un'analisi approfondita del teorema di Mordell- Weil, che garantisce che l'insieme dei punti K-razionali delle curve ellittiche costituisce un gruppo abeliano finitamente generato (dove K è un qualunque campo di numeri). Per giungere alla sua dimostrazione si utilizzano tecniche di discesa infinita, già note a Fermat, e risultati della teoria di Kummer e della teoria classica delle altezze su spazi proiettivi. Lo studio della parte di torsione di tale gruppo è analizzato attraverso la riduzione delle curve ellittiche su campi locali e riformulando la legge di gruppo geometrica mediante gruppi formali. Questi ultimi consistono di serie formali in due indeterminate, soddisfacenti particolari proprietà (simili a quelle di un gruppo). Risultano inoltre convergenti sull'ideale associato a un qualsiasi anello di valutazione di un campo locale: un fatto che costituisce un ponte tra la teoria dei gruppi formali e punti di ordine finito. Per quanto riguarda la parte libera del gruppo, è molto difficile analizzare il suo rango è più difficile da analizzare e non a caso è connesso con molte congetture attualmente aperte, come il Problema del Millennio di Birch e Swinnnerton-Dyer. In effetti lo studio dei generatori del gruppo di Mordell-Weil non ammette attualmente una procedura computabile. Tuttavia può essere ridotto all'esistenza o meno di un singolo punto razionale di una famiglia finita di curve ausiliarie, dette spazi omogenei. Il gruppo di Selmer e quello di Tate-Shafarevic costituiscono una prima misura del fallimento del principio locale-globale legato alla ricerca del punto razionale di cui sopra. Alcune argomentazioni di coomologia galoisiana garantiscono la finitezza del primo, mentre quella del secondo è un problema aperto. Il teorema di Siegel, attraverso una tecnica di approssimazione diofantea (Roth) e di distanze p-adiche, assicura la finitezza dell'insieme dei punti a coordinate (affini) intere di una curva ellittica.