Approccio via Maple alle Varietà Toriche

Algebraic geometry has developed numerous techniques to study variety is a singular and nonsingular large (the resolutions of singularities, the Hodge theory, intersection theory, the Riemann-Roch theorem). There have been recent advances in the classification of the variety is at large in scale and largely due to Mori and his school. To progress in this direction is very important to build a good number of examples. The study of toric varieties plays an important role in algebraic geometry because of their deep connection with polytopes, polyhedra, the combinatorics, commutative algebra, symplectic geometry and topology. Toric varieties have also many applications in various areas such as physics, the theory of codes, the statistical modeling and algebraic geometry. Furthermore, the problems of algebraic geometry limited to toric variety is more tangible and calculable. This thesis represents a first attempt to make algorithmic calculations on toric varieties . Several algorithms have been developed for the management and analysis of the cones and fans, and the resolution of singularities of toric varieties by refinements of the cones or fans associated. Two single-topic chapters are devoted to the study of polytopes (calculation of the faces, edges, interior points, polar polytope, construction of toric varieties associated to a polytope and back calculating the polytope given a fan and a divider) and the weighted projective spaces (calculation of the associated fan associated with a weighted projective space, check that the fan is a fan of a projective space weighted and calculation of the weights associated to a fan of a weighted projective space). For each topic examples were given more or less complex from the literature.

La geometria algebrica ha sviluppato numerose tecniche per studiare variet?a singolari e non singolari di grandi dimensioni (le risoluzioni di singolarit?a, la teoria di Hodge, la teoria dell'intersezione, i teoremi di Riemann-Roch). Ci sono stati recenti progressi nella classi?ficazione delle variet?a di dimensioni elevate soprattutto ad opera di Mori e della sua scuola. Per progredire in questa direzione ?e molto importante costruire un buon numero di esempi. Lo studio delle variet?a toriche ricopre un ruolo molto importante nella geometria algebrica a causa della loro profonda connessione con i politopi, i poliedri, il calcolo combinatorio, l'algebra commutativa, la geometria simplettica e la topologia. Le variet?a toriche hanno anche molte applicazioni in diverse aree come la ?sica, la teoria dei codici, la statistica algebrica e la modellizzazione geometrica. Inoltre i problemi di geometria algebrica ristretti alle variet?a toriche diventano pi?u concreti e calcolabili. Da queste considerazioni ?e nata l'idea di questa tesi: un primo tentativo di trasformare i principali calcoli sulle variet?a toriche in procedure algoritmiche. Sono stati sviluppati numerosi algoritmi per la gestione e l'analisi dei coni e dei fan e la risoluzione di singolarità di varietà toriche mediante raffinamenti dei coni o fan associati. Due capitoli monotematici sono dedicati allo studio dei politopi (calcolo delle facce, spigoli, punti interni, politopo polare, costruzione della varietà torica associata ad un politopo e viceversa calcolo del politopo dato un fan e un divisore) e degli spazi proiettivi pesati (calcolo del fan associato associato ad uno spazio proiettivo pesato,verifica che un fan sia il fan di uno spazio proiettivo pesato e calcolo dei pesi associati ad un fan di uno spazio proiettivo pesato). Per ciascun argomento sono stati forniti esempi più o meno complessi tratti dalla letteratura.