Proprietà ottimali di continuità della distribuzione di Wigner negli spazi di modulazione

La tesi propone lo studio degli aspetti fondamentali dell'analisi tempo-frequenza, con particolare attenzione agli spazi di modulazione. Viene presentato un risultato in termini di continuità della distribuzione di Wigner in tali spazi, che migliora i risultati presenti il letteratura (Toft). Nel primo capitolo introduciamo la trasformata di Fourier, gli operatori di traslazione e modulazione, il principio di indeterminazione di Heisenberg e le funzioni Gaussiane. Nei capitoli seguenti trattiamo le principali rappresentazioni tempo-frequenza, con le loro proprietà. Nel secondo capitolo iniziamo con la rappresentazione Short-Time Fourier Transform, dove localizziamo la funzione $f$ tramite una funzione cut-off $g\in C^{\infty}$, detta finestra, ed otteniamo $V_gf$. Successivamente parliamo della trasformata di Bargmann $Bf$ che fornisce il legame tra l'analisi tempo-frequenza e l'analisi complessa, ottenuta dalla S-T tramite una finestra Gaussiana. Si passa alle rappresentazioni quadratiche tempo-frequenza, con l'Ambiguity function $Af$ e la distribuzione di Wigner $Wf$ con le loro proprietà. Studiamo la Wigner come densità di probabilità congiunta, ci soffermiamo sul problema della positività, a questo proposito, utilizziamo il Teorema di Hudson. Nell'ultimo capitolo presentiamo gli spazi di modulazione e dimostriamo il risultato di continuità della Wigner su tali spazi. L'idea alla base degli spazi di modulazione è quella di imporre una norma sulla STFT $V_gf$ e definire così uno spazio di Banach di funzioni con un dato comportamento tempo-frequenza. Per fare questo introduciamo delle funzioni peso, funzioni continue e positive aventi determinate proprietà. In particolare lavoreremo con pesi del tipo $v_s(z)=(1+|z|^s)$, o pesi $m$ detti $v_s$-moderati, ovvero tali che $m(x+y)\leq Cv_s(x)m(y)$ per un opportuna $C>0$. Ricordiamo gli spazi a norma mista $L^{p,q}_{m}(\mathbb{R}^{2d})$, $1\leq p,q\leq \infty$, necessari per l'introduzione degli spazi di modulazione $M^{p,q}_m(\mathbb{R}^{d})$. Un paragrafo del capitolo è dedicato all'analisi tempo-frequenza nella classe di Schwartz $\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$ e nello spazio delle distribuzioni temperate $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^d)$. Precisamente fissata una finestra $g\in \mathcal{S}(\mathbb{R}^d)\setminus\{0\}$, una funzione/distribuzione $f$ appartiene allo spazio di modulazione $M^{p,q}_m(\mathbb{R}^d)$ se la sua S-T $V_gf$ è nello spazio $L^{p,q}_{m}(\mathbb{R}^{2d})$, con norma $\|f\|_{M^{p,q}_m}=\|V_gf\|_{L^{p,q}_m}$. Proveremo che la definizione di $M^{p,q}_m$ non dipende dalla particolare finestra $g$, infatti finestre diverse danno origine a norme equivalenti e quindi allo stesso spazio di modulazione. Presenteremo i risultati principali per spazi di modulazione con pesi $m$ $v$-moderati, con $v$ peso a crescita polinomiale sub-moltiplicativo: $v(x+y)\leq v(x)v(y),\; \forall x,y\in \mathbb{R}^d.$ Enunceremo e dimostreremo le principali proprietà degli spazi di modulazione: la formula d'inversione, le proprietà di densità della classe di Schwartz, le relazioni di dualità. Estenderemo la classe delle funzioni finestra ammissibili da $\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$ allo spazio di modulazione $M^1_v(\mathbb{R}^d)$. Applicheremo le proprietà viste per lo studio della continuità della Wigner su tali spazi. Calcoliamo la norma di modulazione della cross-Wigner di Gaussiane riscalate, ricordiamo l'enunciato del Teorema e proponiamo la nostra generalizzazione.