Multidimensional Persistence

The always increasing production of new data, which characterise modern science, has made necessary to create new methods of analysis. The new geometric and topological methods invented to solve this problem model data as collections of points, called point clouds. Point clouds are supposed to be sampled from a higher dimensional space which we want to study. In this thesis, we have considered the Persistent homology theory and its generalisation, the Multipersistent homology. Both methods study the evolution of the homology modules when a space changes in function of one or more parameters. The main contribution of this thesis is a new general algorithm to retrieve the structure of a multipersistent homology module. This is the first algorithm with general validity, since the only other algorithm is defined only on a special kind of multifiltration. In the description of this algorithm we have introduced the concept of instanced chains which gives a better geometric insight on the algorithm steps.

La sempre maggiore produzione di nuovi dati che caratterizza la scienza moderna ha reso necessario l'introduzione e l'invenzione di nuovi metodi di analisi. Tra questi, i metodi geometrici e topologici di analisi dei dati modellano i dati come un insieme di punti, chiamati point clouds, supposti facente parte di uno spazio di dimensione maggiore. In questa tesi mi sono principalmente concentrato sull'omologia persistente e sulla sua generalizzazione, l'omologia multipersistente. Queste teorie permettono di studiare l'evoluzione dei moduli di omologia in uno spazio che cresce in funzione ad uno o più parametri. Il principale contributo fornito dalla tesi riguarda l'omologia multipersistente, per la quale ho descritto per la prima volta un algoritmo di validità generale per lo studio di questi moduli. L'unico altro algoritmo esistente è infatti definito solo su un tipo particolare di multifiltrazione. Nella costruzione di questo algoritmo ho inoltre introdotto il concetto di catena istanziata (instanced chain) che fornisce una maggiore intuizione geometrica dietro ai diversi passaggi dell'algoritmo.