Analisi Isogeometrica basata su B-spline quadratiche definite su triangolazioni criss-cross

L'Analisi Isogeometrica (IgA) è una nuova metodologia per lo studio e la risoluzione di problemi differenziali alle derivate parziali e rappresenta un'alternativa ed in molti casi un notevole miglioramento, rispetto ai metodi agli elementi finiti (FEM). Essa si sviluppa con l'obiettivo di colmare la distanza tra la Computer Aided Design (CAD) e il FEM, attraverso la riproduzione del dominio di definizione del problema mediante l'impiego di opportune funzioni di base tipiche del CAD. L'IgA è caratterizzata da un approccio isoparametrico cioè lo spazio in cui si ricerca la soluzione approssimata del problema è rappresentato in termini delle stesse funzioni di base che descrivono il dominio in cui il problema differenziale è definito. Una delle scelte più utilizzate per tali funzioni è stata quella delle NURBS basate su B-spline di tipo tensore prodotto. In generale, l'utilizzo di funzioni di tipo tensore prodotto può presentare alcuni problemi; ad esempio, nella costruzione di superfici, questa scelta può portare ad oscillazioni che sono lontane dalla forma desiderata. Per tali motivi può essere opportuno analizzare l'impiego in IgA di metodi basati su funzioni di tipo non tensore prodotto. Questa tesi si pone quindi come obiettivo l'applicazione in IgA di funzioni B-spline quadratiche bivariate definite su triangolazioni criss-cross e, quindi, di tipo non tensore prodotto. Si sono considerati problemi differenziali di tipo ellittico ai quali è stato applicato il metodo di Galerkin. Per la riproduzione del dominio di definizione del problema e per la descrizione della soluzione, è stata scelta una base dello spazio delle spline bivariate quadratiche C^1 definite su una triangolazione criss-cross. In particolare, per la determinazione dei coefficienti di bordo della soluzione, sono state analizzate due classi di metodi: l'interpolazione e la quasi-interpolazione spline. In quest'ultima classe sono stati presi in considerazione due operatori quasi-interpolanti e un proiettore. La trattazione teorica è stata accompagnata da procedure implementate in ambiente Matlab, sviluppate sia nel caso in cui il dominio fisico del problema coincida con quello parametrico, sia nel caso in cui essi siano differenti. Queste ci hanno permesso di testare la bontà del metodo presentato, confrontando i risultati ottenuti con altri presenti in letteratura.