Il problema di Burnside

Queste brevi note affrontano un problema posto dal matematico britannico William Burnside nel 1902, riguardante la teoria dei gruppi, la cui stesura è stata tanto influenzata proprio da questo quesito. Il primo problema, detto generale, presenta altre due varianti: la prima è chiamata problema limitato ed è proposta da Burnside stesso per semplificare la prima formulazione in seguito ai tentativi falliti di dimostrarla; la seconda invece venne formulata nel 1930 e prese il nome di problema ristretto. Questo testo si propone di enunciare e dare un'interpretazione generale dei problemi. Si studieranno i primi risultati ottenuti da Burnside stesso riguardanti lo spazio delle matrici, e poi si darà maggiore spazio al primo dei tre quesiti, proponendo alcuni esempi riguardanti lo spazio degli alberi d-ari, presentando la costruzione del gruppo di Grigorchuk e un teorema dovuto ai matematici Gupta e Sidki, che risultano essere una risposta al problema generale. Le soluzioni ai primi due quesiti si fecero attendere circa sessant'anni e furono Golod e Shafarevic nel 1964 e Novikov e Adian nel 1968 a risolvere rispettivamente il problema generale e limitato. Una risposta al problema ristretto fu molto più ardua da trovare, e valse al matematico Efim Zelmanov la medaglia Fields nel 1994 per le sue pubblicazioni del 1991. Ma prima del culmine prodotto da questo premio, sono stati numerosi i lavori riguardanti quest'argomento: parecchi articoli, ricerche e capitoli, tre monografie dovute ai matematici S. Adian, A. I. Kostrikin e M. Vaughan-Lee, cospicue letture presso il Congresso Internazionale dei Matematici (ICM's). Questo perché per tutto il Novecento i problemi aperti di Burnside ebbero un'influenza notevole sugli studi e gli sviluppi della teoria dei gruppi. E nonostante ormai siano stati risolti, le soluzioni non soddisfano completamente tutti i dubbi che ancora ci sono. Rimangono ancora molte domande senza risposta, e molti problemi ancora da studiare, primo fra tutti, per proporre una breve anticipazione: esiste un gruppo infinito con 2 generatori e di esponente 5?