Dalla Geometria Proiettiva alla Computer Vision: teoria ed algoritmi

In questa tesi si descrivono gli argomenti di Geometria Proiettiva necessari ad una più chiara introduzione della Computer Vision. Inoltre si affrontano il caso di un punto di vista e il caso di due punti di vista e si forniscono alcune funzioni Matlab che sono state implementate parallelamente allo studio degli argomenti teorici trattati. La prima parte è prettamente teorica ma contiene anche esempi di applicazioni delle funzioni implementate. In particolare nel primo capitolo si definisce il concetto di punto fisso di una trasformazione proiettiva di una retta in se stessa, si classificano tali trasformazioni in ellittiche, paraboliche e iperboliche, si introducono il concetto di involuzione e di involuzione assoluta nella geometria delle similitudini e viene presentato un metodo per ricavare la formula della misura di un angolo tra due rette date. Infine vengono definiti il piano all'infinito e la conica assoluta. Nel secondo capitolo si affronta il problema della stima della matrice dell'omografia tra i punti di due immagini. Vengono definite alcune funzioni costo, come distanza algebrica, distanza geometrica, errore di riproiezione e errore di Sampson. Inoltre vengono presentati alcuni metodi per il calcolo dell'omografia, come il Direct Linear Transformation Algorithm, la Stima di Massima Verosimiglianza, l'algoritmo Gold Standard e il RANdom SAmple Consensus. Il terzo capitolo descrive la geometria di un singolo punto di vista. In esso vengono presentati alcuni modelli di camera, si affronta il problema della stima della matrice della camera tra i punti del mondo e i punti dell'immagine, viene presentata la distorsione radiale, si descrive l'azione di una camera proiettiva su rette, piani, coniche e quadriche, vengono presentati l'aumento della distanza focale e la rotazione della camera, si descrive il legame tra la matrice di calibrazione e la conica assoluta e si presenta un metodo di calibrazione. Infine vengono definiti i punti e le rette di fuga e viene mostrata l'applicazione della misura del rapporto tra altezze di segmenti paralleli. Nel quarto capitolo si introduce la geometria di due punti di vista. In esso viene illustrata la geometria epipolare, viene definita la matrice fondamentale, vengono analizzati nel dettaglio i legami tra la matrice fondamentale e le matrici delle due camere e si presenta la ricostruzione dello spazio 3D. In quest'ultima parte si espongono alcuni metodi per determinare la matrice fondamentale, come l'algoritmo degli 8 punti, l'algoritmo minimo dei 7 punti, l'algoritmo di minimizzazione algebrica, il Gold Standard e il RANSAC. Si illustra poi l'algoritmo di triangolazione e si descrive la ricostruzione proiettiva, quella affine e quella metrica. Nella seconda parte vengono presentate le funzioni Matlab implementate nel corso della stesura di questa tesi. Esse sono richiamate opportunamente nella prima parte della tesi con apposite note. Ogni funzione possiede una breve descrizione del proprio utilizzo. Tale descrizione può essere visualizzata usando la funzione Help di Matlab.