Basi di Gröbner

In this thesis I have studied Gröbner bases theory, an interesting theory because it allows to solve common problems that come out when dealing with polynomial ideals, the algorithm that solve these problems is easy to understand although the theory on which it is based is nontrivial to prove, then it has many applications in several areas of mathematics, and even other disciplines. In the first chapter I have detected the principal problems we can cope with when studying polynomial ideals, that are the motivation of the introduction of Gröbner bases. Then I have given the notions of division for multivariate polynomials, and of monomial orderings, with some examples. Besides, I have given the definition of Gröbner basis, a special finite basis for polynomial ideals, and I have shown the existence of a Gröbner basis for every ideal and some properties, that allows to solve ideal membership problems. At last I have described Buchberger's algorithm for the construction of a Gröbner basis, given a finite set of polynomials, and I have mentioned some considerations about complexity and possible improvements of the algorithm. In the second chapter I have described how it is possible to compute Gröbner bases and doing computations in polynomial ideals using computer algebra systems as Maple and CoCoA. In the third chapter I have analyzed some applications of Gröbner bases: ideal membership decision, solving non-linear polynomial systems, impliticization problems, solving a Sudoku.

In questa tesi ho affrontato la teoria delle basi di Gröbner, teoria interessante perchè permette di risolvere problemi di immediata formulazione nell'ambito degli ideali polinomiali, si utilizza mediante un algoritmo veloce da capire ma che nasconde una teoria non banale, inoltre ha numerose applicazioni in ambiti diversi della matematica e non solo. Nel primo capitolo di questa tesi ho individuato i principali problemi che si pongono nello studio degli ideali polinomiali, in risposta ai quali sono state concepite le basi di Gröbner; ho descritto l'algoritmo di divisione tra polinomi multivariati, e ho definito cosa si intende per ordinamenti monomiali, riportando alcuni esempi; poi ho definito le basi di Gröbner, che sono particolari basi finite di ideali polinomiali, dimostrando la loro esistenza per ogni ideale e alcune proprietà che permettono di stabilire l'appartenenza di un polinomio all'ideale. Infine ho descritto l'algoritmo di Buchberger per generare una base di Gröbner a partire da un insieme di generatori di un ideale, accennando alla sua complessità e ad alcune ottimizzazioni. Nel secondo capitolo ho descritto come si possono calcolare automaticamente le basi di Gröbner e svolgere altre operazioni sugli ideali polinomiali utilizzando i programmi di calcolo simbolico Maple e CoCoA . Nel terzo capitolo ho analizzato alcune applicazioni delle basi di Gröbner, quali stabilire l'appartenenza di un polinomio ad un ideale, risolvere sistemi di equazioni polinomiali non lineari, trovare la forma implicita per una varietà, risolvere un Sudoku.