Autovalori e autovettori

My bachelor's thesis addresses the central theme of the numerical computation of eigenvalues ​​and eigenvectors, key elements of linear algebra with profound implications in various scientific and engineering fields. The work presents a rigorous educational path, starting from the formal definition of eigenvalue, eigenvector and characteristic polynomial, and then delving into the analysis of fundamental computational algorithms. Particular attention is paid to the implementation and analysis of the power method, in its standard and inverse variants (also with shift), iterative algorithms for the approximation of eigenvalues ​​of maximum and minimum modulus. The QR method is also introduced, a more sophisticated algorithm for the computation of the entire spectrum of a matrix. The convergence analysis of the power method is treated in detail, highlighting the factors that influence its speed and stability. Gershgorin's theorem is presented as a tool for the preliminary localization of eigenvalues ​​and for guidance in choosing the shift in the inverse power method. The thesis is not limited to theoretical and computational aspects, but also presents concrete applications in real contexts. Through application problems taken from system dynamics, interurban traffic, demography, image compression and web information search, the versatility and power of eigenvalues ​​and eigenvectors as modeling and analysis tools is demonstrated. The entire methodological development is supported by implementations in the MATLAB® environment, providing the reader with practical and immediately usable tools. This work aims to be a clear and complete guide to the numerical calculation of eigenvalues ​​and eigenvectors, offering a solid theoretical foundation and an application perspective of certain interest for the academic and professional world.

Questa tesi triennale affronta il tema centrale del calcolo numerico di autovalori e autovettori, elementi cardine dell'algebra lineare con profonde implicazioni in svariati ambiti scientifici e ingegneristici. Il lavoro presenta un percorso didattico rigoroso, partendo dalla definizione formale di autovalore, autovettore e del polinomio caratteristico, per poi addentrarsi nell'analisi di algoritmi computazionali fondamentali. Particolare attenzione è dedicata all'implementazione e all'analisi del metodo delle potenze, nelle sue varianti standard e inversa (anche con shift), algoritmi iterativi per l'approssimazione degli autovalori di massimo e minimo modulo. Viene inoltre introdotto il metodo QR, algoritmo più sofisticato per il calcolo dell'intero spettro di una matrice. L'analisi di convergenza del metodo delle potenze è trattata in dettaglio, evidenziando i fattori che ne influenzano velocità e stabilità. Il teorema di Gershgorin è presentato come strumento per la localizzazione preliminare degli autovalori e per la guida nella scelta dello shift nel metodo delle potenze inverse. La tesi non si limita agli aspetti teorici e computazionali, ma presenta anche concrete applicazioni in contesti reali. Attraverso problemi applicativi tratti dalla dinamica dei sistemi, dalla viabilità interurbana, dalla demografia, dalla compressione di immagini e dalla ricerca di informazioni sul web, si dimostra la versatilità e la potenza degli autovalori e degli autovettori come strumenti di modellizzazione e analisi. L'intero sviluppo metodologico è supportato da implementazioni in ambiente MATLAB®, fornendo al lettore strumenti pratici e immediatamente utilizzabili. Questo lavoro si propone come una guida chiara e completa al calcolo numerico di autovalori e autovettori, offrendo un solido fondamento teorico e una prospettiva applicativa di sicuro interesse per il mondo accademico e professionale.