Gruppo di Lorentz ristretto, gruppo di Möbius e discussione del loro isomorfismo

This discussion aims to study the group of Lorentz transformations, defined in the Minkowski vector space, and the Möbius group, defined on the Riemann sphere, and to analyze the relationship between these two groups. In particular, it will be shown that the Möbius group is isomorphic to the restricted Lorentz group. The proof of the existence of an isomorphism between these two groups can be derived without much difficulty from Lie group theory, as both have a differentiable manifold structure of dimension 6 and are arc-connected. A priori, without relying on this theory, it is not intuitive to think of an isomorphism between these two groups, as the restricted Lorentz group acts on a 4-dimensional manifold while the Möbius group acts on a 2-dimensional manifold. Therefore, the purpose of this discussion is not only to demonstrate the existence of an isomorphism but to construct one and provide a physical interpretation. To this end, it is necessary to define an action of the restricted Lorentz group on a 2-dimensional manifold, the 'celestial sphere.' This sphere can be imagined as the set of directions that a light ray, traveling through a vacuum and originating from a source approximated to be at an infinite distance, can take in spacetime. According to the theory of special relativity, upon transitioning from one inertial reference frame to another (via a restricted Lorentz transformation), the light observed from the same source is, in general, perceived as coming from a different direction. For a given restricted Lorentz transformation, the law by which these directions change can be expressed as a map from the celestial sphere to itself. Among these maps are, of course, rotations, which are also observed in Galilean relativity, but also different maps, such as those derived from 'boosts.' This discussion will demonstrate that the maps obtained in this way are all, and only, the maps belonging to the Möbius group, and it will provide a classification of them.

Questa trattazione ha lo scopo di studiare il gruppo delle trasformazioni di Lorentz, definite nello spazio vettoriale di Minkovski, il gruppo di Möbius, definito nella sfera di Riemann, e analizzare la relazione che esiste tra questi due gruppi. In particolare, si verifica che il gruppo di Möbius è isomorfo al gruppo di Lorentz ristretto. La dimostrazione dell’esistenza di un isomorfismo tra questi due gruppi può essere ricavata non difficilmente dalla teoria dei gruppi di Lie, dal momento che entrambi hanno una struttura di varietà differenziabile di dimensione 6 e sono connessi per archi. A priori, senza contare su questa teoria, non è intuitivo pensare a un isomorfismo tra questi due gruppi, dal momento che il gruppo di Lorentz ristretto agisce su una varietà di dimensione 4 mentre il gruppo di Möbius agisce su una varietà di dimensione 2. Lo scopo di questa trattazione, quindi, non è solo dimostrare l’esistenza di un isomorfismo, ma costruirne uno e darne un’interpretazione fisica. A questo scopo è necessario definire un’azione del gruppo di Lorentz ristretto su una varietà di dimensione 2, la “sfera celeste”. Questa sfera può essere immaginata come l’insieme delle direzioni che possono essere percorse nello spazio-tempo da un raggio di luce, che si propaga nel vuoto e proviene da una sorgente che in approssimazione è posta a distanza infinita. In base alla teoria della relatività ristretta, in seguito al passaggio da un sistema di riferimento inerziale a un altro (tramite una trasformazione di Lorentz ristretta), si osserva la luce emessa dalla stessa sorgente provenire, in generale, da una direzione diversa. Data una trasformazione di Lorentz ristretta, la legge con cui queste direzioni cambiano può essere espressa come una mappa dalla sfera celeste in sé stessa. Tra queste mappe si ritrovano ovviamente le rotazioni, che già si osservano nella relatività galileiana, ma anche mappe differenti, ad esempio quelle che derivano dai “boost”. In questa trattazione sarà dimostrato che le mappe ottenute in questo modo sono tutte e sole le mappe che appartengono al gruppo di Möbius e ne verrà data una classificazione.