Canonical Analysis for Electromagnetism towards a non-perturbative Loop quantization

This thesis is set within the framework of Loop Quantum Gravity (LQG), a non-perturbative and background-free quantization theory of gravity based on the Holst model, which is dynamically equivalent to General Relativity. The work presents a canonical analysis of the electromagnetic field, aiming to develop a consistent framework for the non-perturbative loop quantization of electromagnetism. The discussion initially develops through fundamental geometric tools such as gauge natural fiber bundles, the Lagrangian formalism, the ADM formalism, and the Hamiltonian approach. Subsequently, it explores quantum aspects through the discretization of connections, the construction of Hilbert spaces for kinematic states (spin networks), and the definition of quantum observables. Additionally, the coupling of the model with the Klein-Gordon scalar field is examined, highlighting the essential geometric structures for a unified approach.

Questa tesi si inserisce nel quadro della Loop Quantum Gravity (LQG), una teoria di quantizzazione non-perturbativa e background-free della gravità basata sul modello di Holst, dinamicamente equivalente alla Relatività Generale. Il lavoro propone un'analisi canonica del campo elettromagnetico, mirando a sviluppare un framework coerente per la quantizzazione a loop non-perturbativa dell'elettromagnetismo. La trattazione si sviluppa inizialmente attraverso strumenti geometrici fondamentali come fibrati gauge-naturali, formalismo lagrangiano, formalismo ADM e Hamiltoniano. Successivamente, esplora gli aspetti quantistici tramite la discretizzazione delle connessioni, la costruzione degli spazi di Hilbert degli stati cinematici (spin networks), e la definizione delle osservabili quantistiche. Inoltre, viene esaminato l'accoppiamento del modello con il campo scalare di Klein-Gordon, evidenziando le strutture geometriche essenziali per un approccio unificato.