Analisi probabilistica del modello di Wilson e Cowan per i neuroni

In this thesis, a mathematical model is proposed to describe the behaviour of a neuronal population, inspired by Wilson and Cowan's model. The work begins by defining a model for the single neuron, formulated as a continuous-time Markov chain, and then extending this model to the entire neuronal population. Subsequently, a system of two-dimensional stochastic differential equations is obtained through a transition to the cardinality of the continuum, exploiting appropriate estimates of random variables. To study the behaviour of this system, its stability around an equilibrium is analysed using Van Kampen's method. An alternative approach, based on Kurtz's method and stochastic perturbation theory, provides the same approximation, demonstrating consistency between the two methodologies. The study of the system linearised around the fixed point shows the presence of deterministic oscillations amplified by stochastic noise, configuring a process known as ‘quasicycle’. This phenomenon is crucial in explaining the gamma bursts, apparently random events of intense neuronal activity observed in visual cortex V1. The results obtained provide an important key to better understand the underlying neural dynamics and conditions that lead to the generation of gamma bursts.

In questa tesi viene proposto un modello matematico per descrivere il comportamento di una popolazione neuronale, ispirato al modello di Wilson e Cowan. Il lavoro inizia con la definizione di un modello per il singolo neurone, formulato come una catena di Markov a tempo continuo, per poi estendere tale modello all'intera popolazione neuronale. Successivamente, attraverso un passaggio alla cardinalità del continuo, si ottiene un sistema di equazioni differenziali stocastiche bidimensionali, sfruttando stime appropriate di variabili aleatorie. Per studiare il comportamento di questo sistema, viene analizzata la sua stabilità attorno a un equilibrio, utilizzando il metodo di Van Kampen. Un approccio alternativo, basato metodo di Kurtz e sulla teoria delle perturbazioni stocastiche, fornisce la stessa approssimazione, dimostrando la coerenza tra le due metodologie. Lo studio del sistema linearizzato attorno al punto fisso evidenzia la presenza di oscillazioni deterministiche amplificate dal rumore stocastico, configurando un processo noto come "quasicycle". Tale fenomeno risulta cruciale per spiegare i gamma burst, eventi di intensa attività neuronale apparentemente casuali osservati nella corteccia visiva V1. I risultati ottenuti forniscono un'importante chiave di lettura per comprendere meglio le dinamiche neurali sottostanti e le condizioni che portano alla generazione di gamma burst.