Aspetti topologici e computazionali del modello di Kuramoto

The concept of synchronization, from the Greek: Χρόνος (chronos, time) and σύν (sin, the same, equal), which can be translated as “occurring at the same time,” refers to various phenomena that are observed in nature at all scales, for example, looking at a flock of birds, analyzing the brain, in heart rhythms, or in biological cycles, human behavior and so on. The basic idea is that separate objects, which have individual dynamics, when they influence each other, can no longer maintain an independent dynamic, but develop a shared one, precisely by synchronizing. So we have a network of objects interacting with each other. We represent this network as a graph composed of nodes and edges. Each node is an object in the network, and each edge corresponds to an interaction between the nodes it connects. The Kuramoto model captures how highly interactive objects, corresponding to high-degree nodes, tend to synchronize more. In this thesis, we explored the state in which, by applying Kuramoto's model to a graph divided into communities, those communities synchronize with different frequencies from each other. We analyzed this state using Time Delay Embedding (TDE), a technique used in signal analysis to study nonlinear phenomena, including turbulence, biological oscillations and climate patterns. This technique makes it possible to reconstruct an attractor of a dynamical system from a single observable. We studied the Point-Cloud obtained by TDE through persistent homology. The latter is part of a set of computational techniques for the topological study of a set of points distributed in space, called Topological Data Analysis. TDE and persistent homology, have been shown to be synchronization-sensitive techniques that can clearly distinguish between synchronized and unsynchronized states. In addition, a correspondence between persistence diagrams and synchronized communities was observed. The goal of this thesis is to present a first analysis on synchronization using these two techniques and explore their sensitivity.

Il concetto di sincronizzazione, dal greco: Χρόνος (chronos, tempo) e σύν (sin, la stessa, uguale), traducibile come "che avviene allo stesso momento", si riferisce a vari fenomeni che si osservano in natura a tutte le scale, per esempio guardando uno stormo di uccelli, analizzando il cervello, nei ritmi cardiaci, oppure nei cicli biologici, nei comportamenti umani e così via. L'idea fondamentale è che oggetti separati, che abbiano una dinamica individuale, quando si influenzano a vicenda, non possano più mantenere una dinamica indipendente, ma ne sviluppino una condivisa, appunto sincronizzandosi. Abbiamo quindi una rete di oggetti che interagiscono fra loro. Rappresentiamo questa rete come un grafo composto da nodi e lati. Ogni nodo è un oggetto della rete e ogni lato corrisponde ad un’interazione fra i nodi che collega. Il modello di Kuramoto descrive il fenomeno per cui oggetti che interagiscono molto, che corrispondono a nodi di grado alto, tendono a sincronizzarsi maggiormente. In questa tesi abbiamo esplorato lo stato in cui, applicando il modello di Kuramoto a un grafo diviso in comunità, queste ultime si sincronizzano con frequenze diverse l'una dall'altra. Abbiamo analizzato questo stato utilizzando il Time Delay Embedding (TDE), una tecnica impiegata nell'analisi dei segnali per lo studio di fenomeni non lineari, tra cui la turbolenza, le oscillazioni biologiche e i modelli climatici. Questa tecnica consente di ricostruire un attrattore di un sistema dinamico a partire da una singola osservabile. Abbiamo studiato la nuvola di punti (Point-Cloud) ottenuta dal TDE tramite l'omologia persistente. Quest'ultima fa parte di un insieme di tecniche computazionali per lo studio topologico di un insieme di punti distribuiti nello spazio, detto Topological Data Analysis. Il TDE e l'omologia persistente, si sono rivelate tecniche sensibili alla sincronizzazione, in grado di distinguere in modo chiaro lo stato sincronizzato da quello non sincronizzato. Inoltre, è stata osservata una corrispondenza tra i diagrammi di persistenza e le comunità sincronizzate. L'obbiettivo di questa tesi è presentare una prima analisi sulla sincronizzazione utilizzando queste due tecniche ed esplorarne la sensibilità.