La trasformata di Laplace

In mathematical analysis, the Laplace transform proves to be a fundamental tool for solving differential equations, analyzing dynamic systems, and understanding complex physical phenomena. Its most significant advantage is that, under the action of the transform, the integral and the derivative of a function become, respectively, a division and a multiplication by the complex variable. Thus, it allows integral and differential equations to be transformed into polynomial equations, which are easier to solve. First, we will provide an overview of all the mathematical tools necessary to rigorously define the (unilateral) Laplace transform, including some fundamental examples of commonly used transforms. In the second chapter, we will illustrate the properties of the transform, many of which derive from the Fourier transform, highlighting the close relationship between the two. We will state and prove the most relevant theorems, such as the differentiation and convolution theorems. In the third chapter, we will analyze methods for inverting the Laplace transform, that is performing the inverse Laplace transform, using the Riemann-Fourier theorem. Finally, in the fourth chapter, we will explore some applications in solving differential equations.

In analisi matematica, la trasformata di Laplace si rivela uno strumento fondamentale per risolvere equazioni differenziali, analizzare sistemi dinamici e comprendere fenomeni fisici complessi. Il vantaggio più significativo è che, sotto l’azione della trasformata, l’integrale e la derivata di una funzione diventano rispettivamente una divisione e una moltiplicazione per la variabile complessa. Essa quindi consente di trasformare le equazioni integrali e le equazioni differenziali in equazioni polinomiali, che sono più immediate da risolvere. Innanzitutto daremo una panoramica di tutti gli strumenti che serviranno per definire rigorosamente la trasformata di Laplace (unilatera), riportando qualche esempio fondamentale di trasformate spesso utilizzate nella pratica. In seguito nel secondo capitolo illustreremo quelle che sono le proprietà della trasformata, molte derivanti dalla trasformata di Fourier, evidenziandone anche il legame stretto che intercorre tra le due trasformate. Enunceremo e dimostreremo i teoremi di maggior rilevanza, tra cui i teoremi di derivazione e di convoluzione. Nel terzo capitolo analizzeremo i metodi per invertire la trasformata di Laplace, attuando cioè l’antitrasformata di Laplace, utilizzando il teorema di Riemann-Fourier, mentre nel quarto capitolo vedremo alcune applicazioni alla risoluzione delle equazioni differenziali.