Integrazione e misure su spazi localmente compatti

The purpose of this thesis is to prove the existence, on T2 locally compact topological groups, of Haar measures. In the first chapter we will define prerequisites and basic notions necessary for the following proofs. The second chapter deals with the Urysohn’s Lemma. In the third chapter we will introduce Radon’s measures, a particular type of Borel measures, and we state and prove the Riesz representation Theorem. Fourth chapter’s aim is to extend Radon measures in topological product spaces, utilizing Riesz representation Theorem. Lastly, in the fifth chapter Haar measures will be defined and it will be proven that, on a T2 locally compact topological group, there exists a Haar measure. The discussion is completed with some examples.

L'obiettivo di questa tesi è dimostrare l'esistenza di un particolare tipo di misure, dette misure di Haar, nei gruppi topologici T2 e localmente compatti. Nel primo capitolo vengono elencati tutti i prerequisiti e le nozioni di base neccessarie per le dimostrazioni successive. Il secondo capitolo è dedicato al Lemma di Urysohn. Nel terzo capitolo si introduce il concetto di misura di Radon, una particolare classe di misure di Borel, e si enuncia e dimostra, tramite il Lemma di Urysohn, il Teorema di rappresentazione di Riesz. Il quarto capitolo si propone di estendere il concetto di misura di Radon a spazi topologici prodotto, utilizzando la rappresentazione di un particolare funzionale attraverso il Teorema di rappresentazione di Riesz. Infine, nel quinto capitolo vengono definite le misure di Haar, misure di Radon invarianti per traslazioni definite su gruppi topologici, e si dimostra che, in un gruppo topologico T2 e localmente compatto esiste una misura di Haar. La trattazione è corredata da alcuni esempi.