Estensione di Campi e Chiusura Algebrica

This thesis examines field extensions within the framework of field theory. After introducing the fundamental concepts of subfields, we analyze field extensions and their degree. Particular attention is given to algebraic and transcendental elements, the minimal polynomial, and algebraic extensions, which are essential tools for understanding the structure of fields. Finally, we study algebraically closed extensions and the algebraic closure of a field, proving their existence and uniqueness. The goal is to provide a clear and structured overview of fields' fundamental properties and extensions.

Questa tesi esamina le estensioni di campo nell’ambito della teoria dei campi. Dopo aver introdotto i concetti fondamentali di sottocampo, si analizzano le estensioni di campo e il loro grado. Particolare attenzione è dedicata agli elementi algebrici e trascendenti, al polinomio minimo e alle estensioni algebriche, strumenti essenziali per comprendere la struttura dei campi. Infine, si studiano le estensioni algebricamente chiuse e la chiusura algebrica di un campo, dimostrandone l’esistenza e l’unicità. L’obiettivo è offrire una visione chiara e strutturata delle proprietà fondamentali dei campi e delle loro estensioni.