Basi di Gröbner e Ideali di dimensione zero

Abbiamo definito le varietà affini come luogo degli zeri di alcuni polinomi. Quindi abbiamo stabilito una corrispondenza tra gli ideali finitamente generari dell'anello di polinomi ad n variabili sul campo k e le varietà affini. Dimostrato il Teorema della Base di Hilbert, per cui ogni ideale I è finitamente generato, abbiamo osservato come una varietà affine non sia determinata delle equazioni polinomiali che la definiscono ma dagli ideali. Quindi la corrispondenza di cui si è detto in precedenza è definita genericamente per ogni ideale e possiamo parlare di varietà di un'ideale. La dimostrazione del teorema della base di Hilbert, offerta in modo costruttivo, porta a definire una particolare tipologia di basi per un ideale I, tali che i termini direttori dei polinomi che vi appartengono generano l'ideale monomiale dei termini principali dei polinomi di I. Queste basi sono dette di Groebner. La cosa sorprendente è che possono sempre essere scritte attraverso un algoritmo dovuto a Buchberger. Hanno la proprietà di rendere indifferente il resto della divisione, all'ordine in cui si considerano i divisori. Per tutte queste riflessioni è stato necessario ordinare in qualche modo i monomi. Un particolare rilievo tra tutti merita l'ordinamento lessicografico. Con questo ordinamento abbiamo posto in essere una teoria per risolvere sistemi di equazioni polinomiali, basata sulla soluzione di sistemi più semplici, che coinvolgono meno variabili, pensado poi di estenderle a soluzioni complete. La varietà affine delle soluzioni parziali è la varietà dell'ideale eliminazione, generato dagli elementi della base di Groebner che non comprendono le variabili che abbiamo eliminato. Con il Teorema dell'Estensione abbiamo dato un criterio per assicurare quando una soluzione parziale si estende ad una completa. Questa tecnica di soluzione si adatta particolarmente al caso in cui sappiamo che un sistema ha un numero finito di soluzioni. Questo può essere letto avendo scritto qualsiasi base di Groebner. Questo Teorema di finitezza è il cuore della nostra teoria. Afferma che se tra i polinomi della base di Groebner compaiono, per ogni variabile, termini direttori che sono potenza di una variabile, allora certamente il sistema di equazioni polinomiali ha un numero finito di soluzioni. Se in particolare si è scelto un ordinamento lessicografico, in cui x sia la variabile più piccola. Se il sistema ha un numero finito di soluzioni, esisterà un elemento della base di Groebner il cui termine principale sia una potenza di x. Ma x è la variabile più piccola ed il termine direttore è quello di grado maggiore. Perciò questo elemento della base è tutto scritto con la variabile x. Se soluzioni di questo polinomio in x rappresentano le possibili soluzioni da estendere. Iterando il procedimento, una variabile alla volta, abbiamo un algoritmo per risolvere i sistemi di equazioni. E' lo stesso concetto che anima l'eliminazione di Gauss, per le equazioni lineari, di cui questo metodo rappresenta una generalizzazione. Poter ridurre algoritmicamente un sistema in una forma canonica non era scontato in principio e rappresenta uno meriti maggiori del metodi delle basi di Grebner. Le basi rispetto all'ordine lessicografico non sono facili da calcolare e per maggior rapidità di soluzione possiamo affidare la verifica del criterio di finitezza ad un altro ordinamento. Sono poi noti algoritmi per convertire una base qualsiasi in una lessicografica.