Modelli stocastici per la valutazione di polizze rivalutabili

Negli ultimi anni i prodotti assicurativi del ramo vita sono stati caratterizzati da una progressiva evoluzione verso formule sempre più complesse, integrando contenuti finanziari derivati con i tradizionali prodotti assicurativi, coinvolgendo anche operatori specializzati (promotori finanziari, broker, private banker, ecc.) che si sono affiancati agli agenti d'assicurazione. Le polizze vita rivalutabili, introdotte nel mercato italiano negli anni di alta inflazione, hanno oggi quasi completamente sostituito le polizze non rivalutabili. La particolarità di questi contratti assicurativi consiste nella rivalutazione delle prestazioni e dei premi in base al rendimento di un fondo gestito dall'assicuratore separatamente dal resto delle sue attività, dove sono investite le riserve delle polizze, detto ¿a gestione separata¿. Il meccanismo di rivalutazione è basato sulla retrocessione agli assicurati di una parte (aliquota di retrocessione) dell'eventuale utile finanziario, calcolato come extra-rendimento di gestione rispetto al tasso tecnico: si tratta pertanto di un meccanismo di indicizzazione finanziaria, non trascurabile nella valutazione di remuneratività del prodotto. Tipico di queste polizze è il meccanismo di consolidamento dei risultati che è diretta conseguenza della condizione che l'assicurato partecipi sì all'utile, ma non alle eventuali perdite: vi è quindi la presenza di una garanzia di rendimento annuo minimo che conferisce alla polizza la connotazione di contratto derivato. Il problema di valutazione va pertanto impostato ¿immergendo¿ la polizza nel mercato dei capitali dove vengono investite le sue riserve, in modo da ottenere dei risultati coerenti e confrontabili con quelli che si ottengono nella valutazione degli attivi a copertura. La componente opzionale insita nella regola di rivalutazione comporta quindi l'esigenza di costruire dei modelli stocastici finanziari atti a prezzare tali polizze, modelli che si basano, ad esempio, sulle ipotesi di Black & Scholes e CIR. Spesso accade che taluni argomenti di finanza vengano affrontati utilizzando, senza piena consapevolezza, risultati matematici preconfezionati oppure siano trattati con un formalismo esasperato, scordando quasi le implicazioni pratiche e l'interpretazione finanziaria dei risultati ottenuti. In questo lavoro si è voluto conciliare questi due opposti atteggiamenti, scrivendo una trattazione in grado di far coesistere, rendendoli omogenei dal punto di vista notazionale, i seguenti tre aspetti: attuariale, finanziario e stocastico. La trattazione è articolata in quattro parti: una prima parte in cui è stato necessario e doveroso fare alcuni richiami circa le nozioni di base di demografia, l'analisi delle polizze vita e morte e il calcolo delle riserve e degli utili di una Compagnia assicurativa; una seconda parte, puramente matematica, finalizzata a richiamare alcuni strumenti del calcolo stocastico, quali il moto browniano e le martingale e alcuni risultati importanti dal punto di vista applicativo quali il lemma di Ito e il teorema di Girsanov; una terza parte in cui i processi stocastici vengono utilizzati per costruire modelli dei mercati finanziari e per calcolare i prezzi dei contratti di opzione, come nel caso del classico modello di Black & Scholes; una quarta ed ultima parte nella quale, analizzate in dettaglio le polizze rivalutabili, si ricorre ai risultati ottenuti in precedenza per impostare un modello stocastico di valutazione delle medesime.