L'equazione di Pell

L'equazione di Pell è un'equazione diofantea del tipo x^2-Ny^2=1, dove N è un numero intero. Un'equazione diofantea è un'equazione a coefficienti interi di cui si ricercano soluzioni intere. Nel corso della trattazione si arriva a vedere che questa equazione possiede sempre una soluzione e anzi ne possiede infinite. In particolare vengono esposti due diversi approcci possibili al problema, entrambi volti a trovare un algoritmo per risolvere l'equazione di Pell. Il primo consiste nello studio della teoria delle frazioni continue, una teoria che fornisce una rappresentazione dell'insieme dei numeri irrazionali. Dopo aver visto la teoria in generale, si studia lo sviluppo sotto forma di frazione continua della radice quadrata di N e grazie a questo si trova un metodo semplice e reltivamente veloce per individuare una soluzione dell'equazione di Pell. Nella seconda parte, invece, è descritta la struttura delle estensioni quadratiche del campo razionale e quella dell'anello degli interi di tale estensione. In particolare si arriva a dare un metodo per trovare le unità di tale anello, ovvero gli elementi invertibili, e si vede che trovare le soluzioni intere dell'equazione di Pell equivale proprio a individuare le unità.