Passeggiate aleatorie unidimensionali

We consider the random motion of a particle along a line. At each unit time interval the particle moves on the left or on the right by one unit with fixed probability. Considered x the starting point of the particle at time zero, we establish an interval (A,B) which contains x. We search the probability α,β that in the time interval [0,n] the particle leaves the interval (A,B) through A and B respectively. To do so we determine a formula which describes α,β in an infinite random walk. In the end, we study the mean duration of a random walk and we show that this value has an upper bound, in other words it doesn't go to infinity.

Consideriamo una particella che si muove casualmente lungo una retta. Essa ad ogni istante t si muove a destra oppure a sinistra di un'unità con probabilità fisse nel tempo. Prendiamo x il punto di partenza della particella al tempo zero e prendiamo un intervallo (A,B) contenente x. Analizziamo le probabilità α,β che nell'intervallo di tempo [0,n] la particella esca dall'intervallo (A,B) rispettivamente dall'estremo A e B. Per farlo troviamo inoltre una formula che descrive il comportamento di α,β in una passeggiata aleatoria infinita. Infine studiamo il tempo medio impiegato dalla particella per uscire dall'intervallo (A,B), dimostreremo che questo valore è superiormente limitato ovvero, non fugge ad infinito.