Teoria e Applicazione del Modello Binomiale nella Valutazione delle Opzioni Finanziarie

The thesis provides an in-depth analysis of the Cox-Ross-Rubinstein (CRR) binomial model for pricing financial options, examining both its theoretical aspects and practical application. This model is one of the most widely used methodologies for valuing derivative instruments due to its conceptual simplicity and ability to adapt to different types of options, including American options, which allow for early exercise. The research aims to illustrate the functioning of the binomial model by analyzing its theoretical foundations and comparing them with other valuation approaches, such as the Black-Scholes-Merton model, to which the CRR model tends to converge as the number of binomial tree steps increases. The study explores the intrinsic characteristics of options, the construction of binomial trees, the no-arbitrage principle, and risk-neutral valuation—key elements for understanding how the model operates. Subsequently, the research focuses on the practical implementation of the model using VBA within the Excel environment, developing a code that allows for the computation of theoretical option prices. These prices are then compared with market data on Borsa Italiana. To assess the reliability of the binomial model, two statistical metrics—Mean Absolute Error (MAE) and Root Mean Squared Error (RMSE)—are used to quantify the deviations between theoretical values and market prices. Finally, the thesis explores various extensions of the CRR model, such as the Leisen-Reimer, Tian, Jarrow-Rudd, and Trigeorgis models, developed to improve accuracy and convergence speed. The results highlight the validity of the binomial model in replicating theoretical option prices while also revealing some limitations, particularly in pricing Out of The Money options and options with very long-time horizons, as a high number of steps is required to ensure stable convergence to the continuous Black-Scholes model.

La tesi presenta un'analisi approfondita del modello binomiale di Cox-Ross-Rubinstein (CRR) per il pricing delle opzioni finanziarie, esaminandone sia gli aspetti teorici che l'applicazione pratica. Questo modello rappresenta una delle metodologie più utilizzate per la valutazione degli strumenti derivati, grazie alla sua semplicità concettuale e alla capacità di adattarsi a diverse tipologie di opzioni, comprese quelle americane, caratterizzate dalla possibilità di esercizio anticipato. La ricerca si propone di illustrare il funzionamento del modello binomiale, analizzando le sue basi teoriche e confrontandole con altri approcci di valutazione, come il modello Black-Scholes-Merton, a cui il CRR tende a convergere quando il numero di step dell’albero binomiale aumenta. Vengono approfondite le caratteristiche intrinseche delle opzioni, la costruzione degli alberi binomiali, il principio di assenza di arbitraggio e la valutazione in un mondo risk-neutral, elementi fondamentali per comprendere il funzionamento del modello. Successivamente, la ricerca si focalizza sull’implementazione pratica del modello, eseguita con VBA in ambiente Excel, sviluppando un codice che permette di calcolare i prezzi teorici delle opzioni. Questi vengono confrontati con i dati di mercato, con particolare riferimento alle opzioni scambiate su Borsa Italiana. Per valutare l’affidabilità del modello binomiale, vengono utilizzate due metriche statistiche, il Mean Absolute Error (MAE) e il Root Mean Squared Error (RMSE), al fine di quantificare gli scostamenti tra i valori teorici e quelli di mercato. Infine, la tesi esplora diverse estensioni del modello CRR – quali i modelli di Leisen-Reimer, Tian, Jarrow-Rudd e Trigeorgis – sviluppati con l’obiettivo di migliorare la precisione e la velocità di convergenza. I risultati evidenziano la validità del modello binomiale nel replicare i prezzi teorici, pur mettendo in luce alcune limitazioni, in particolare nella gestione delle opzioni Out of The Money e delle opzioni su orizzonti temporali molto lunghi, essendo necessari numerosi step per garantire una convergenza stabile verso il modello continuo di Black-Scholes.