Il concetto di divisibilità nella scuola secondaria di primo grado: aspetti legati alla struttura moltiplicativa dei numeri naturali

This thesis concerns an experimentation in mathematics education aimed to introducing the concept of divisibility at middle school, and its subsequent analysis. The activities have been designed by three people, thanks to the collaboration among a university professor, a university student and the regular mathematics teacher of a grade 6 class of a school in Turin (Italy). During the experimentation, the class has faced an arithmetic path towards the concept of divisibility of a natural number, with respect to the multiplicative structure of the Natural Numbers N and to the prime number-decomposition. The purpose is to push the students to the acquisition of mathematical literacy, by exploring a basic property of elementary Number Theory. Such literacy has a crucial significance both with respect to the National curricular Standards and to the reference frameworks of National and International assessment. The activities that the students faced adopt the methodology of mathematics laboratory, avoiding the frontal lesson and centring on group work and collective discussions. The thesis has a fundamentally constructivist architecture with the aim of focusing learning on students and their interactions, both mutual and with the teacher. From the perspective of research in mathematics education, we use recent tools from APOS Theory (concerned with the recognition and interplay of actions, processes, objects and schemas) and from Semiotic theories. These tools serve to analyse the students' cognitive processes while doing mathematics to learn divisibility. So they allow us to argue some conclusions about the strengths and critical aspects of the experimentation, in terms of the students' experiences and activities.

Il lavoro di tesi riguarda una sperimentazione in didattica della matematica che mira a introdurre il concetto di divisibilità nella scuola secondaria di primo grado e la sua successiva analisi. Le attività sono state progettate a tre mani grazie alla collaborazione tra un docente e uno studente universitari con l'insegnante di matematica di una classe prima di una scuola torinese. Durante la sperimentazione, la classe ha affrontato un percorso aritmetico di potenziamento sul concetto di divisibilità di un numero naturale, in relazione alla struttura moltiplicativa di N e alla scomposizione in fattori primi. L'intento è quello di avviare i ragazzi verso l'acquisizione di competenza matematica esplorando una proprietà basilare in seno alla teoria elementare dei numeri. Tale competenza ha un'importanza cruciale sia nelle Indicazioni per il curricolo, sia rispetto ai quadri di riferimento dei test di valutazione nazionali e internazionali. Le attività affrontate dagli studenti seguono la metodologia del laboratorio di matematica rinunciando alla lezione frontale e focalizzandosi su lavori di gruppo e momenti di discussione collettiva. Il lavoro assume un impianto di tipo fondamentalmente costruttivista con l'intento di incentrare l'apprendimento sugli studenti e sulle loro interazioni tra pari e con l'insegnante. Dal punto di vista della ricerca didattica, si utilizzano strumenti recenti della teoria APOS (basata sul riconoscimento e sulla mutua influenza di azioni, processi, oggetti e schemi) intrecciati con una lente di tipo semiotico. Tali strumenti servono per analizzare i processi cognitivi in atto degli studenti mentre fanno matematica per apprendere il concetto di divisibilità. Essi permettono dunque di trarre alcune conclusioni su punti di forza e criticità evidenziate dalla sperimentazione in termini delle esperienze e attività presentate agli studenti.