Condizioni di Landesman-Lazer e applicazioni ad alcuni problemi periodici non lineari

Il mio lavoro nasce dall'analisi di un articolo di Garrione del 2012, ¿Resonance at the first eigenvalue for first order systems on the plane: vanishing Hamiltonians and the Landesman-Lazer condition¿. In esso l'autore presenta condizioni di Landesman-Lazer per l'esistenza di soluzioni per sistemi piani Hamiltoniani nel caso della doppia risonanza; tali risultati, insieme alle condizioni di Landesman-Lazer presentate nel quarto capitolo, hanno consentito di analizzare mediante metodi di continuazione l'esistenza di soluzioni per un problema scalare del second'ordine. Gran parte dei risultati presentati nell'elaborato, ed in particolare i risultati di Amster e di Garrione, il Corollario 4.4 ed il Teorema 4.5 presentati nel Capitolo 4 (già noti ma dimostrati in questa tesi con tecniche di continuazione), sono stati ottenuti impiegando strumenti di carattere topologico. Utilizzando le proprietà del grado è possibile giungere alla dimostrazione del teorema di continuazione di Leray-Schauder, risultato fondamentale di cui le condizioni di Landesman-Lazer consentono di sfruttare al meglio le potenzialità. È questo uno degli aspetti della tesi che possono essere giudicati interessanti; infatti (come illustrato nella Parte II della tesi) la dimostrazione del risultato originale di Landesman e Lazer non è sviluppata nel contesto del grado topologico.