Forme modulari e funzioni L

We introduce elliptic functions and Fuchsian groups of the first kind, which give rise to modular curves as quotients of Poincaré hyperbolic half-plane. Meromorphic functions on such Riemann surfaces are said modular functions, of which the modular forms are a generalization. We then present the Hecke operators and study their action on the Fourier coefficients of modular and cusp forms, which under some hypothesis are multiplicative. Finally we introduce the L-functions generated by such coefficients and we show that they satisfy functional equations and Euler products, and we prove the converse theorem (Weil's).

Nella tesi vengono introdotte le funzioni ellittiche e i gruppi Fuchsiani di primo tipo, che danno luogo alle curve modulari viste come quozienti del piano iperbolico di Poincaré. Le funzioni meromorfe su tali superfici complesse sono dette funzioni modulari, di cui le forme modulari sono una generalizzazione olomorfa. Vengono quindi presentati gli operatori di Hecke e studiata la loro azione sui coefficienti di Fourier di forme modulari e cuspidali, che sotto opportune ipotesi risultano moltiplicativi. Infine, vengono introdotte le funzioni L generate dai suddetti coefficienti e viene provato che esse soddisfano a opportune equazioni funzionali e prodotti euleriani, e viene quindi dimostrato il converso (teorema di Weil).