Teoremi limite e approssimazione con processi di diffusione per catene di Markov density dependent

Al giorno d'oggi, le catene di Markov costituiscono la classe di processi stocastici che conta il maggior numero di applicazioni negli ambiti più inaspettati e complessi, dalla biologia all'economia passando per la fisica e la meccanica quantistica. L'argomento principale di questa tesi è lo studio di particolari catene di Markov, definite density dependent. Si tratta di famiglie di catene dipendenti da un parametro N, il quale può rappresentare il volume totale di un sistema chimico-biologico o la taglia di una popolazione a seconda del contesto in cui viene applicata la catena. Il nome density dependent deriva dalla forma dei tassi istantanei di transizione, che viene espressa in funzione degli stati normalizzati, ovvero delle densità, della catena stessa. Scopo principale della tesi è quello di analizzare e, in un secondo momento, applicare due diverse approssimazioni di questa tipologia di catene di Markov, frutto del lavoro del professore statunitense T. G. Kurtz. La prima corrisponde alla soluzione di un sistema di Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO), il cui comportamento, al crescere del parametro N, assume il significato di media asintotica della catena; in quanto tale, però, non è in grado di includere al suo interno la natura aleatoria, propria di qualsiasi processo stocastico. Aggiungendo un termine di rumore all'EDO, si ottiene un sistema di equazioni differenziali stocastiche che costituisce la seconda approssimazione analizzata e che fornisce informazioni in più sulla distribuzione della catena density dependent. Con il software R si sono analizzati i punti di forza delle due approssimazioni e nello stesso tempo si è presa consapevolezza anche dei loro limiti. Nel momento in cui la catena raggiunge il bordo del proprio spazio degli stati, i metodi di approssimazione non risultano più efficienti ed é necessario ricorrere a metodi differenti, tutt'ora oggetto di studio di molti ricercatori.