Alcuni problemi della risoluzione numerica delle equazioni a derivate parziali

Lo scopo di questo lavoro è quello di esplorare alcuni problemi della risoluzione numerica delle equazioni differenziali alle derivate parziali. Sottolineando l'importanza che le PDE rivestono sia nell'ambito teorico-formale che nelle applicazioni di carattere fisico, prendiamo in esame le equazioni differenziali del secondo ordine, partendo dapprima con un approccio più generale e descrittivo, mettendone in luce le principali caratteristiche, e concentrando poi la nostra attenzione sulle equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico. In particolare, ci focalizziamo sulla risoluzione numerica di un problema di Dirichlet per le equazioni di Laplace e di Poisson, illustrando una delle tecniche numeriche più comuni per la loro risoluzione, quella delle differenze finite. Tuttavia, il fatto che tali tecniche numeriche siano legate alla necessità di lavorare su punti disposti su una griglia, ci porta allo studio di un metodo che possa operare anche su dati sparsi. In generale, l'implementazione su punti sparsi permette infatti di ottenere un'accuratezza assai maggiore rispetto ad una soluzione approssimata con le differenze finite. Si indaga così teoricamente e sperimentalmente l'impiego delle spline di Lobachevsky nella risoluzione numerica del problema di Dirichlet per l'equazione di Poisson mediante il metodo di collocazione. In particolare, l'obiettivo che ci poniamo è quello di studiare questo tipo di funzioni spline riportando noti risultati teorici nel contesto probabilistico e di verificare se possano essere utilizzate per la risoluzione numerica dell'equazione di Poisson. Proviamo la funzionalità del metodo, applicandolo ad alcuni esempi numerici e confrontando i risultati ottenuti con il metodo alle differenze finite. Un aspetto importante è infine quello di valutare l'efficienza del metodo in base alla scelta del parametro che compare nell'espressione analitica delle spline di Lobachevsky. Si osserva infatti un miglioramento della soluzione, rimpicciolendo il supporto della spline. Nell'Appendice riportiamo i codici Matlab che sono stati sviluppati per eseguire le prove numeriche con i due metodi.