Trasformata di Radon e Applicazioni alla Tomografia

Over the past several decades, X-ray tomography, together with other imaging modalities, has profoundly altered the practice of medicine. At the core of each modality is a mathematical model to interpret the measurements and a numerical algorithm to reconstruct the image. In this Thesis, X-ray tomography is employed as pedagogical machine, and the theory that underlies the corresponding mathematical models is studied. The physical principles used in this area are simple to describe. The Radon Transform is at the center of the mathematical model for the measurements made in the X-ray tomography. We study the properties of this transform, e we derive the Filtered Back-Projection Formula, which provides an exact inverse for the Radon Transform. This formula is the basis of essentially all reconstruction algorithms used in X-ray computed tomography (CT) today. The Radon Transform, in turn, is supported by other important linear transform used as part of the medical image reconstruction: the Fourier Transform, the Hilbert Transform, and the Abel Transform.

Nel corso degli ultimi decenni la tomografia ai raggi X, assieme ad altre modalità di imaging medico, ha alterato profondamente la pratica della medicina. Alla base di ogni modalità si trovano un modello matematico per interpretare le misure ed un algoritmo numerico per ricostruire un'immagine. In questa Tesi, la tomografia ai raggi X viene utilizzata come macchina pedagogica, e la teoria che sta sotto ai corrispondenti modelli matematici viene studiata. I princìpi fisici utilizzati in questo ambito sono semplici da descrivere. La Trasformata di Radon si trova al centro dei modelli matematici per le misure effettuate nella tomografia ai raggi X. Vengono studiate le proprietà di questa trasformata, e viene derivata la Formula Back-Projection Filtrata, che fornisce un'inversa esatta della Trasformata di Radon. Questa formula si trova sostanzialmente alla base di tutti gli algoritmi di ricostruzione utilizzati nella tomografia computerizzata (CT) ai giorni nostri. La Trasformata di Radon, a sua volta, si appoggia ad altre trasformazioni lineari utilizzate nell'ambito della ricostruzione di immagini mediche, quali la Trasformata di Fourier, la Trasformata di Hilbert e la Trasformata di Abel.