Metodi numerici per la valutazione di opzioni americane

Financial options are a crucial tool in global markets, used by investors, companies, and financial institutions to manage risk, speculate, and create investment strategies. An option is a specific financial contract that grants the holder the right, but not the obligation, to buy or sell an asset at a future date for a predetermined price. The aim of this paper is to study various methodologies for the accurate pricing of options, with a particular focus on American options. Initially, the characteristics and differences between different types of options are analyzed. Subsequently, several pricing procedures are presented: the binomial model, which uses discrete time intervals; the Black-Scholes-Merton formula, applied to continuous time; and the LSM model, which approximates the value of an option through the generation of random trajectories and the use of regression to estimate the conditional expected profit. The convergence of the discrete-time method to the continuous-time method is demonstrated by reducing the length of the time step. Finally, numerical implementations using MATLAB software are presented to illustrate the main theoretical results. The simulations confirm the validity and effectiveness of the proposed methods in the valuation of American options. ​

Le opzioni finanziarie rappresentano uno strumento cruciale nei mercati globali, utilizzato da investitori, aziende e istituzioni finanziarie per gestire il rischio, speculare e creare strategie di investimento. Un'opzione è un particolare contratto finanziario che conferisce al possessore il diritto, ma non l’obbligo, di acquistare o vendere un titolo a una data futura ad un prezzo prestabilito. L'obiettivo di questo elaborato è studiare diverse metodologie per il corretto prezzamento delle opzioni, con particolare attenzione a quelle di tipo americano. Inizialmente vengono analizzate le caratteristiche e le differenze tra le varie tipologie di opzioni. Successivamente, si presentano diverse procedure per stabilirne il prezzo: il modello binomiale, che utilizza tempi discreti; la formula di Black-Scholes-Merton, applicata ai tempi continui; il modello LSM, che approssima il valore di un'opzione tramite la generazione di traiettorie casuali e l'uso della regressione per la stima del profitto atteso condizionale. Viene inoltre dimostrata la convergenza del metodo a tempi discreti al metodo a tempi continui riducendo la lunghezza del passo temporale. Infine, vengono presentate implementazioni numeriche con il software MATLAB per illustrare i principali risultati teorici. Le simulazioni confermano la validità e l'efficacia dei metodi proposti nella valutazione delle opzioni americane. ​