Teoria Di Aubry-Mather ed applicazioni ad equazioni differenziali ordinarie

Ci proponiamo di presentare la teoria di Aubry-Mather. Essa prende spunto sia dai risultati di Birkhoff sull'esistenza di orbite periodiche di alcuni sistemi meccanici a due gradi di libertà che dalla teoria KAM, sviluppata da Kolmogorov, Arnold e Moser a partire dal 1954, che tratta l'esistenza di curve invarianti per piccole perturbazioni di sistemi hamiltoniani integrabili. La teoria di Aubry-Mather, in qualche senso, sintetizza i risultati in un unico importante teorema. Un'applicazione ad una classe di equazioni differenziali ordinarie è inoltre riportata nel terzo capitolo. Si procederà attraverso lo studio di omeomorfismi che preservano le aree nell'anello A=S^1 x [a,b], fissano i bordi di A e soddisfano la proprietà twist. Tali mappe compaiono spesso come mappe di Poincaré associate a sistemi hamiltoniani a due gradi di libertà. I problemi fondamentali nello studio della dinamica di una siffatta F sono i seguenti: la ricerca di orbite periodiche e la ricerca di una curva chiusa invariante che separi il bordo S^1 x {a} da S^1 x {b}. Le più semplici mappe twist sono quelle integrabili. In questo caso tutte le circonferenze r=costante sono curve invarianti, e la restrizione della mappa ad esse agisce come una rotazione. La teoria KAM mostra che per mappe F sufficientemente "`prossime"' ad una mappa integrabile F_0 molte curve invarianti continuano ad esistere. D'altra parte esistono semplici esempi per i quali non esistono curve invarianti che separano le componenti del bordo di A. Si intuisce che le curve invarianti si "`distruggono"' quando ci allontaniamo dal caso integrabile. Cosa accade quando la perturbazione "`non è piccola"'? S. Aubry e J. N. Mather hanno scoperto che le curve invarianti "`non scompaiono mai completamente"', ma alcune loro "`tracce"' si possono sempre trovare nella forma di insiemi invarianti, detti per l'appunto insiemi di Aubry-Mather, che "`sostengono"' le orbite in modo quasi- periodico. Queste orbite corrispondono a quelle che vanno a formare gli insiemi minimali di Denjoy, insiemi di Cantor che compaiono come omega-limiti di orbite associate ad omeomorfismi della circonferenza. Tuttavia, mentre tali insiemi compaiono solo per una piccola classe di omeomorfismi della circonferenza, cosicché la loro esistenza viene considerata per lo più come una curiosità, gli insiemi di Aubry-Mather intervengono in una vasta gamma di sistemi dinamici non integrabili, tra i quali perturbazioni (non necessariamente piccole) di sistemi hamiltoniani integrabili a due gradi di libertà. In realtà, come vedremo successivamente, gli insiemi di Aubry-Mather non sono solo insiemi di Cantor, ma anche curve invarianti o orbite periodiche. Nel terzo capitolo si riporterà un'applicazione del teorema di Mather allo studio qualitativo di un'equazione differenziale periodica. Il procedimento in questo caso sarà standard: consideremo l'equazione di Duffing: x''+g(x)=p(t), con g che soddisfa opportune ipotesi. Sposteremo quindi l'attenzione sulla mappa di Poincaré associata al sistema piano ad essa equivalente; dopo il passaggio alle coordinate azione-angolo sarà possibile dedurre che tale mappa soddisfa le ipotesi di una variante del teorema di Mather sul cilindro infinito S^1 x (-\infty,+\infty). Esistono quindi insiemi di Aubry-Mather per la mappa di Poincaré. Vedremo come questa proprietà si possa tradurre per le soluzioni corrispondenti dell'equazione differenziale.