Mappe caotiche e applicazioni alle equazioni differenziali ordinarie

Questa tesi tratta alcuni aspetti della teoria del caos. Il suo scopo è descrivere recenti sviluppi nel settore e provare come alcuni risultati rientrino in un'unica teoria astratta. Per poter parlare di caos è necessario darne una definizione, ma, non essendo ancora presente una teoria affermata, è stato necessario fare ordine tra tutte le nozioni presenti in letteratura. Dopo un'accurata ricerca sono emerse le quattro definizioni di caos più significative per quanto riguarda le mappe continue definite da uno spazio metrico compatto in sé, dovute a T.Y. Li e J.A. Yorke, L.S. Block e W.A. Coppel, R.L. Devaney e passante attraverso il concetto di entropia topologica. Il passo successivo è stato quello di investigare le relazioni tra le precedenti definizioni nel caso generale. Se ci si restringe al caso particolare dell'intervallo reale compatto, alcune implicazioni sono invertibili. Lo studio di queste implicazioni ha richiesto la conoscenza di vari settori di studio, dalla teoria ergodica alla teoria degli insiemi, dalla teoria della misura alla teoria astratta dei sistemi dinamici. Il secondo capitolo tratta le applicazioni alle equazioni differenziali ordinarie. Oltre ad avere una grande rilevanza come argomento a sé stante, è ormai noto come la teoria delle mappe fornisca uno strumento molto utile per lo studio delle equazioni differenziali ordinarie. Il ponte tra le due teorie è costituito da una particolare mappa, detta ''Mappa di Poincaré'', che descrive le proprietà qualitative delle soluzioni di un'equazione differenziale. Dal primo capitolo emerge che il caos secondo Block-Coppel svolge un ruolo privilegiato all'interno delle definizioni da noi considerate. Viene quindi naturale definire una soluzione di un'equazione differenziale ordinaria come ''caotica'' se la sua mappa di Poincaré è caotica secondo Block-Coppel. Questa definizione è in completo accordo con l'uso comune, è infatti prassi riferirsi a soluzioni caotiche se si mostra una semiconiugazione con la mappa shift di Bernoulli. Scopo del secondo capitolo è descrivere alcuni metodi per ottenere soluzioni caotiche e studiare le relazioni tra di essi. Dopo la presentazione del noto metodo di Melnikov, si è passati a studi molto recenti, dovuti a A. Capietto, W. Dambrosio, D. Papini, S. Terracini, G. Verzini e S. P. Hastings. Tutti questi autori hanno studiato l'equazione di Hill x''+q(t)g(x)=0 supponendo che il peso q non fosse di segno costante. Essi sono stati in grado di mostrare l'esistenza di una soluzione con un numero arbitrario di oscillazioni da cui dedurre una ''dinamica caotica''. E' parso molto interessante il fatto che due risultati fossero qualitativamente uguali ma raggiunti con approcci estremamente diversi: topologico per il primo, variazionale per il secondo. Tutto ciò ha reso spontaneo chiedersi se tali metodi potessero rientrare in un unico schema astratto. Lo Stretching Along the Paths recentemente proposto da F. Zanolin e D. Papini ha fatto propendere per una risposta affermativa, supportata anche dai risultati introdotti da M. Pireddu. Dopo una dettagliata descrizione di tale metodo geometrico si è esposta la parte originale di questa tesi, ovvero il mostrare come e in che condizioni alcuni risultati rientrino nello schema di Stretching Along the Paths. Si vedrà che un caso è direttamente contenuto, mentre l'altro vi rientra solo in un caso particolare. Lo studio del caso generale può essere un interessante sviluppo di questa tesi.