Frattali: autosimilarità e dimensione di Hausdorff

L’autosimilarità risulta una caratteristica largamente presente in natura. Essa descrive la proprietà di diversi oggetti di essere fini a sé stessi, ovvero ciascuna loro piccola porzione figura come una copia riscalata dell’oggetto stesso. Un frattale si mostra come un esempio matematico di insieme autosimile. La tesi ha quindi come scopo l’analisi rigorosa della proprietà di autosimilarità dei frattali e il calcolo della loro dimensione di Hausdorff. Nella prima parte dell’elaborato viene introdotta la misura di Hausdorff p-dimensionale su uno spazio metrico. Di tale misura viene enunciata e analizzata la definizione, soffermandosi sull’idea sistematica alla base del procedimento costruttivo di essa e sulla natura dei ricoprimenti presi in esame. A seguito di ciò, si enunciano ancora alcune proprietà utili all’introduzione del concetto di dimensione di Hausdorff. Nella seconda parte del lavoro vengono affrontate le nozioni di similitudine e di insiemi invarianti sotto una similitudine, in modo da definire il concetto di insieme autosimile. Si citano come esempio i frattali, in particolare l’insieme di Cantor e le curve di Koch, di cui vengono definiti e specificati gli insiemi di separazione. Vengono poi enunciati i risultati necessari al calcolo della dimensione di Hausdorff di insiemi autosimili. Infine, nell’ultima parte della tesi vengono studiate due applicazioni degli insiemi frattali al mondo reale. In primo luogo, ci si sofferma sul calcolo della lunghezza di una costa tramite le curve di Koch, con riferimenti alla formula di Richardson. In secondo luogo, viene adoperato l’insieme di Cantor al fine di studiare la distribuzione dell’errore durante la propagazione di un segnale.