Insiemi Borel e Borel^* in teoria descrittiva degli insiemi generalizzata

Generalized descriptive set theory (GDST) aims at developing a higher analogue of classical descriptive set theory in which \omega is replaced with an uncountable cardinal \kappa in all definitions and relevant notions. In the literature on GDST it is often required that \kappa^{<\kappa}=\kappa, a condition equivalent to \kappa regular and 2^{<\kappa}=\kappa. In contrast, in this thesis we use a more general approach and develop in a uniform way the basics of GDST for cardinals \kappa still satisfying 2^{<\kappa}=\kappa but independently of whether they are regular or singular. This allows us to retrieve as a special case the known results for regular \kappa, but it also uncovers their analogues when \kappa is singular. We also discuss some new phenomena specifically arising in the singular context (such as the existence of two distinct yet related Borel hierarchies), and obtain some results which are new also in the setup of regular cardinals, such as the existence of unfair Borel^* codes for all Borel^* sets. ​

La teoria descrittiva degli insiemi (DST) è un ramo della teoria degli insiemi che studia i sottoinsiemi definibili degli spazi di Cantor, Baire e più in generale degli spazi polacchi. Come il nome suggerisce, l’idea alla base della teoria descrittiva degli insiemi generalizzata (GDST) è di estendere il caso classico, sostituendo \omega con \kappa cardinale più che numerabile in definizioni e concetti rilevanti. Nonostante le significative differenze rispetto all’impostazione classica, la teoria ha riscontrato un notevole successo, mettendo in luce collegamenti interessanti anche con altre aree della logica matematica. Nella letteratura sulla GDST è spesso richiesto che \kappa^{<\kappa}=\kappa, condizione equivalente a \kappa regolare e 2^{<\kappa}=\kappa. La motivazione dietro questa scelta è che, all’interno di questa cornice, alcune tecniche usate nel caso classico si generalizzano in modo naturale al nuovo contesto. In questa tesi invece, adottiamo un approccio più generale, con l’obiettivo di mettere le basi per una trattazione più ampia ed esaustiva che coinvolga anche il caso singolare. Nello specifico, consideriamo \kappa un cardinale qualsiasi che soddisfi la condizione 2^{< \kappa}=\kappa, una forma molto debole di ipotesi del continuo generalizzata, e sviluppiamo le basi della GDST in modo uniforme e il più possibile indipendente da ulteriori premesse sul cardinale. Questo ci permette non solo di ricavare come casi particolari i risultati già noti per \kappa regolare, ma anche di dimostrare il loro analogo quando \kappa è singolare; tale obiettivo è non banale, perché anche dopo aver congetturato gli enunciati correttamente, dimostrarli spesso richiede intuizioni e tecniche che risultano nuove rispetto al caso regolare. Inoltre, nella tesi trattiamo alcuni nuovi fenomeni che emergono specificatamente nel caso \kappa singolare (per esempio l’esistenza di due gerarchie boreliane, distinte ma correlate) e otteniamo alcuni risultati che sono nuovi anche per cardinali regolari, come l’esistenza di codici Borel^* unfair per tutti gli insiemi Borel^*. ​