Esistenza di nane bianche rotanti ad alta velocità mediante il grado di Leray-Schauder

A white dwarf is a small, dense stellar body, characterized by a weak white luminosity. No fusion reaction takes place inside white dwarfs, the light they radiate is due to the thermal energy trapped in their inside, which is slowly released over time causing a progressive cooling. Eventually, a white dwarf stops emitting any radiation and becomes a black dwarf. However, our universe is still too young for this cooling process to have come to end. In these stellar bodies, gravitational collapse is counteracted by the repulsion between electrons due to Pauli’s exclusion principle, which forbids the coexistence of more than one electron in the same quantum state, preventing a further increase in density. The electrons of the degenerate matter fill all the lower quantum states up to a threshold value and from this the peculiar equation of state of white dwarfs derives in which pressure is given as function of density. The objective of this thesis is to discuss the physical model of the white dwarf and the theoretical tools needed to prove the existence of a class of rotating white dwarfs, following some state-of-the-art developments in the field. First of all, the degree of Leary-Schauder is introduced and a Global Implicit Function Theorem due to Rabinowitz, the main tool used for finding solutions, is proved. The presentation of the model of the white dwarf follows. The explicit expression of pressure as a function of density is justified by the study in relativistic setting of the degenerate electron gas and the Euler-Poisson equations are derived from the principles of fluid dynamics. Under the additional hypothesis that the white dwarf rotates around a fixed axis with a non-uniform angular velocity, symmetric with respect to the rotation axis, the rotating white dwarf equation is derived. In order to prove the existence of solutions, the equation is then interpreted as a map between suitable functional spaces to which it is possible to apply the differential calculus in Banach spaces. The Leray-Schauder degree of the map is defined since it is a compact perturbation of the identity, hence it is possible to apply Rabinowitz Theorem to obtain a connected set of solutions. In this set, it is possible to let the parameter measuring the intensity of rotation, for a fixed profile of angular velocity, increase, obtaining the existence of rapidly rotating white dwarfs.

Una nana bianca è un corpo celeste di ridotte dimensioni ed elevata densità, caratterizzato da una luminosità debole e tendente al bianco. Non avvengono reazioni di fusione nelle nane bianche, la luce che emanano è dovuta all’energia termica intrappolata al loro interno che viene lentamente rilasciata, causandone un progressivo raffreddamento. Infine, una nana bianca cessa di emettere ogni forma di radiazione, diventando una nana nera. Tuttavia il nostro universo è ancora troppo giovane perché questo processo di raffreddamento sia potuto giungere al termine. In questi corpi celesti, il collasso gravitazionale è contrastato dalla repulsione tra elettroni dovuta al principio di esclusione di Pauli, che vieta a più elettroni di occupare lo stesso stato quantico impedendo un ulteriore aumento della densità. Gli elettroni della materia degenere occupano tutti gli stati quantici più bassi fino ad valore soglia e da questo deriva la caratteristica equazione di stato delle nane bianche in cui la pressione è espressa in funzione della densità. Questo lavoro di tesi ha come obiettivo la discussione del modello fisico della nana bianca e degli strumenti teorici necessari a dimostrare l’esistenza di una classe di nane bianche rotanti, seguendo alcuni recenti sviluppi della ricerca in quest’ambito. Viene innanzitutto introdotta la teoria del grado di Leray-Schauder e viene dimostrato un Teorema della Funzione Implicita Globale dovuto a Rabinowitz che sarà il principale strumento di ricerca di soluzioni. Segue poi lo sviluppo del modello della nana bianca. L’espressione esplicita della pressione in funzione della densità viene giustificata mediante lo studio in ambito relativistico del gas degenere di elettroni e il sistema di equazioni di Eulero-Poisson viene derivato a partire dai principi della fluidodinamica. Introducendo l’ipotesi che la nana bianca ruoti attorno ad un asse fisso con velocità angolare non uniforme, ma simmetrica rispetto all’asse di rotazione, si ottiene l’equazione della nana bianca rotante. Per provare l’esistenza di soluzioni, l’equazione viene interpretata come una mappa tra appositi spazi funzionali a cui è possibile applicare il calcolo differenziale in spazi di Banach. Si dimostra che tale mappa è una perturbazione compatta dell’unità e che pertanto il suo grado di Leray-Schauder è definito. Applicando il Teorema di Rabinowitz si ottiene un insieme di connesso di soluzioni e si discute la possibilità di far crescere il parametro che rappresenta, per un profilo di velocità angolare fissato, l’intensità della rotazione, ottenendo quindi l’esistenza di nane bianche rotanti ad alta velocità.